Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem losowych zjawisk, a jej podstawowym pojęciem jest prawdopodobieństwo, które określa szansę wystąpienia danego zdarzenia.
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników danego eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy monetą, przestrzeń próbna składa się z dwóch elementów⁚ orzeł i reszka. Jeśli rzucamy kostką do gry, przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów⁚ 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Przestrzeń próbna jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ pozwala nam zdefiniować wszystkie możliwe wyniki eksperymentu i obliczyć prawdopodobieństwo każdego z nich.
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników danego eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy monetą, przestrzeń próbna składa się z dwóch elementów⁚ orzeł i reszka. Jeśli rzucamy kostką do gry, przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów⁚ 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Przestrzeń próbna jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ pozwala nam zdefiniować wszystkie możliwe wyniki eksperymentu i obliczyć prawdopodobieństwo każdego z nich.
Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie konkretnej liczby, np. 3. Zdarzenie elementarne jest zawsze częścią przestrzeni próbnej; Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego jest równe 1 podzielone przez liczbę elementów w przestrzeni próbnej. Na przykład, prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 na kostce do gry wynosi 1/6, ponieważ przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów.
Zdarzeniem w teorii prawdopodobieństwa nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni próbnej.
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników danego eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy monetą, przestrzeń próbna składa się z dwóch elementów⁚ orzeł i reszka. Jeśli rzucamy kostką do gry, przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów⁚ 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Przestrzeń próbna jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ pozwala nam zdefiniować wszystkie możliwe wyniki eksperymentu i obliczyć prawdopodobieństwo każdego z nich.
Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie konkretnej liczby, np. 3. Zdarzenie elementarne jest zawsze częścią przestrzeni próbnej. Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego jest równe 1 podzielone przez liczbę elementów w przestrzeni próbnej. Na przykład, prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 na kostce do gry wynosi 1/6, ponieważ przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów.
Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa jest to dowolny podzbiór przestrzeni próbnej. Oznacza to, że zdarzenie jest zbiorem wyników eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem może być wyrzucenie liczby parzystej, wyrzucenie liczby większej od 4 lub wyrzucenie liczby 6. Zdarzenie może być również pojedynczym wynikiem, np. wyrzucenie liczby 3. Zdarzenia są często oznaczane dużymi literami alfabetu, np. A, B, C.
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników danego eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy monetą, przestrzeń próbna składa się z dwóch elementów⁚ orzeł i reszka. Jeśli rzucamy kostką do gry, przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów⁚ 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Przestrzeń próbna jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ pozwala nam zdefiniować wszystkie możliwe wyniki eksperymentu i obliczyć prawdopodobieństwo każdego z nich.
Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie konkretnej liczby, np. 3. Zdarzenie elementarne jest zawsze częścią przestrzeni próbnej. Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego jest równe 1 podzielone przez liczbę elementów w przestrzeni próbnej. Na przykład, prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 na kostce do gry wynosi 1/6, ponieważ przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów.
Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa jest to dowolny podzbiór przestrzeni próbnej. Oznacza to, że zdarzenie jest zbiorem wyników eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem może być wyrzucenie liczby parzystej, wyrzucenie liczby większej od 4 lub wyrzucenie liczby 6. Zdarzenie może być również pojedynczym wynikiem, np. wyrzucenie liczby 3. Zdarzenia są często oznaczane dużymi literami alfabetu, np. A, B, C.
Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli rzucamy monetą dwa razy, to wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego rzutu. Zatem, rzuty monetą są niezależne. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Jeśli A i B są niezależnymi zdarzeniami, to⁚
$P(A p B) = P(A) ot P(B)$
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników danego eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy monetą, przestrzeń próbna składa się z dwóch elementów⁚ orzeł i reszka. Jeśli rzucamy kostką do gry, przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów⁚ 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Przestrzeń próbna jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ pozwala nam zdefiniować wszystkie możliwe wyniki eksperymentu i obliczyć prawdopodobieństwo każdego z nich.
Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie konkretnej liczby, np. 3. Zdarzenie elementarne jest zawsze częścią przestrzeni próbnej. Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego jest równe 1 podzielone przez liczbę elementów w przestrzeni próbnej. Na przykład, prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 na kostce do gry wynosi 1/6, ponieważ przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów.
Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa jest to dowolny podzbiór przestrzeni próbnej. Oznacza to, że zdarzenie jest zbiorem wyników eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem może być wyrzucenie liczby parzystej, wyrzucenie liczby większej od 4 lub wyrzucenie liczby 6. Zdarzenie może być również pojedynczym wynikiem, np. wyrzucenie liczby 3. Zdarzenia są często oznaczane dużymi literami alfabetu, np. A, B, C.
Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli rzucamy monetą dwa razy, to wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego rzutu. Zatem, rzuty monetą są niezależne. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Jeśli A i B są niezależnymi zdarzeniami, to⁚
$P(A p B) = P(A) ot P(B)$
Dwa zdarzenia są zależne, jeśli wystąpienie jednego z nich wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli wyciągamy dwie karty z talii bez zwracania pierwszej, to wynik drugiego losowania zależy od wyniku pierwszego losowania. Jeśli w pierwszym losowaniu wyciągnęliśmy asa, to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kolejnego asa w drugim losowaniu jest mniejsze niż w przypadku, gdybyśmy w pierwszym losowaniu nie wyciągnęli asa. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch zależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa pierwszego zdarzenia i prawdopodobieństwa drugiego zdarzenia pod warunkiem, że pierwsze zdarzenie już nastąpiło.
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu;
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników danego eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy monetą, przestrzeń próbna składa się z dwóch elementów⁚ orzeł i reszka. Jeśli rzucamy kostką do gry, przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów⁚ 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Przestrzeń próbna jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ pozwala nam zdefiniować wszystkie możliwe wyniki eksperymentu i obliczyć prawdopodobieństwo każdego z nich.
Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie konkretnej liczby, np. 3. Zdarzenie elementarne jest zawsze częścią przestrzeni próbnej. Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego jest równe 1 podzielone przez liczbę elementów w przestrzeni próbnej. Na przykład, prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 na kostce do gry wynosi 1/6, ponieważ przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów.
Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa jest to dowolny podzbiór przestrzeni próbnej. Oznacza to, że zdarzenie jest zbiorem wyników eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem może być wyrzucenie liczby parzystej, wyrzucenie liczby większej od 4 lub wyrzucenie liczby 6. Zdarzenie może być również pojedynczym wynikiem, np. wyrzucenie liczby 3. Zdarzenia są często oznaczane dużymi literami alfabetu, np. A, B, C.
Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli rzucamy monetą dwa razy, to wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego rzutu; Zatem, rzuty monetą są niezależne. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Jeśli A i B są niezależnymi zdarzeniami, to⁚
$P(A p B) = P(A) ot P(B)$
Dwa zdarzenia są zależne, jeśli wystąpienie jednego z nich wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli wyciągamy dwie karty z talii bez zwracania pierwszej, to wynik drugiego losowania zależy od wyniku pierwszego losowania. Jeśli w pierwszym losowaniu wyciągnęliśmy asa, to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kolejnego asa w drugim losowaniu jest mniejsze niż w przypadku, gdybyśmy w pierwszym losowaniu nie wyciągnęli asa. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch zależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa pierwszego zdarzenia i prawdopodobieństwa drugiego zdarzenia pod warunkiem, że pierwsze zdarzenie już nastąpiło.
Zdarzenia wzajemnie wykluczające się (rozłączne)
Dwa zdarzenia są wzajemnie wykluczające się (rozłączne), jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, to zdarzenie wyrzucenia liczby parzystej i zdarzenie wyrzucenia liczby nieparzystej są wzajemnie wykluczające się, ponieważ nie można wyrzucić jednocześnie liczby parzystej i nieparzystej. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. Jeśli A i B są wzajemnie wykluczającymi się zdarzeniami, to⁚
$P(A lub B) = P(A) + P(B)$
Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa
Pojęcie prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo jest miarą szansy wystąpienia danego zdarzenia. W prostych słowach, prawdopodobieństwo określa, jak często możemy oczekiwać, że dane zdarzenie nastąpi w długim okresie czasu. W matematyce, prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od 0 do 1, gdzie 0 oznacza, że zdarzenie jest niemożliwe, a 1 oznacza, że zdarzenie jest pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia może być wyrażone w postaci ułamka, liczby dziesiętnej lub procentu.
Na przykład, jeśli rzucamy monetą, prawdopodobieństwo otrzymania orła wynosi 1/2, co oznacza, że w długim okresie czasu możemy oczekiwać, że orzeł pojawi się w około połowie przypadków. Prawdopodobieństwo jest fundamentalnym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak statystyka, ekonomia, fizyka i medycyna.
Zdarzenia losowe
Zdarzenia losowe to zdarzenia, których wynik jest niepewny. Oznacza to, że nie możemy z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danego zdarzenia. Przykładem zdarzenia losowego jest rzucanie kostką do gry. Nie wiemy, jaka liczba wypadnie, ponieważ wynik jest zależny od przypadku. Inne przykłady zdarzeń losowych to losowanie loterii, rzucanie monetą, losowanie kart z talii i wiele innych.
Przestrzeń próbna
Przestrzeń próbna to zbiór wszystkich możliwych wyników danego eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy monetą, przestrzeń próbna składa się z dwóch elementów⁚ orzeł i reszka. Jeśli rzucamy kostką do gry, przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów⁚ 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Przestrzeń próbna jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ pozwala nam zdefiniować wszystkie możliwe wyniki eksperymentu i obliczyć prawdopodobieństwo każdego z nich.
Zdarzenia elementarne
Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie konkretnej liczby, np. 3. Zdarzenie elementarne jest zawsze częścią przestrzeni próbnej. Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego jest równe 1 podzielone przez liczbę elementów w przestrzeni próbnej. Na przykład, prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 na kostce do gry wynosi 1/6, ponieważ przestrzeń próbna składa się z sześciu elementów.
Podstawowe pojęcia i definicje
Zdarzenia
Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa jest to dowolny podzbiór przestrzeni próbnej. Oznacza to, że zdarzenie jest zbiorem wyników eksperymentu. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, zdarzeniem może być wyrzucenie liczby parzystej, wyrzucenie liczby większej od 4 lub wyrzucenie liczby 6. Zdarzenie może być również pojedynczym wynikiem, np. wyrzucenie liczby 3. Zdarzenia są często oznaczane dużymi literami alfabetu, np. A, B, C.
Zdarzenia niezależne
Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli rzucamy monetą dwa razy, to wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego rzutu. Zatem, rzuty monetą są niezależne. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Jeśli A i B są niezależnymi zdarzeniami, to⁚
$P(A p B) = P(A) ot P(B)$
Zdarzenia zależne
Dwa zdarzenia są zależne, jeśli wystąpienie jednego z nich wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład, jeśli wyciągamy dwie karty z talii bez zwracania pierwszej, to wynik drugiego losowania zależy od wyniku pierwszego losowania. Jeśli w pierwszym losowaniu wyciągnęliśmy asa, to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kolejnego asa w drugim losowaniu jest mniejsze niż w przypadku, gdybyśmy w pierwszym losowaniu nie wyciągnęli asa. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch zależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa pierwszego zdarzenia i prawdopodobieństwa drugiego zdarzenia pod warunkiem, że pierwsze zdarzenie już nastąpiło.
Zdarzenia wzajemnie wykluczające się (rozłączne)
Dwa zdarzenia są wzajemnie wykluczające się (rozłączne), jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, to zdarzenie wyrzucenia liczby parzystej i zdarzenie wyrzucenia liczby nieparzystej są wzajemnie wykluczające się, ponieważ nie można wyrzucić jednocześnie liczby parzystej i nieparzystej. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. Jeśli A i B są wzajemnie wykluczającymi się zdarzeniami, to⁚
$P(A lub B) = P(A) + P(B)$
Zdarzenia łączne
Dwa zdarzenia są łączne, jeśli mogą wystąpić jednocześnie. Na przykład, jeśli rzucamy kostką do gry, to zdarzenie wyrzucenia liczby parzystej i zdarzenie wyrzucenia liczby większej od 3 są łączne, ponieważ można wyrzucić jednocześnie liczbę parzystą i większą od 3, np. 4 lub 6. Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z dwóch łącznych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń minus prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń jednocześnie. Jeśli A i B są łącznymi zdarzeniami, to⁚
$P(A lub B) = P(A) + P(B) ⏤ P(A p B)$