Twierdzenie o trzech funkcjach (Twierdzenie o sklejanju)
Twierdzenie o trzech funkcjach, znane również jako twierdzenie o sklejanju, jest potężnym narzędziem w analizie matematycznej, które pozwala na wyznaczanie granicy funkcji poprzez porównanie jej do dwóch innych funkcji, których granice są już znane․
Wprowadzenie
Twierdzenie o trzech funkcjach, znane również jako twierdzenie o sklejanju, jest fundamentalnym narzędziem w analizie matematycznej, które pozwala na wyznaczanie granicy funkcji w sposób pośredni, poprzez porównanie jej do dwóch innych funkcji, których granice są już znane․ Jest to szczególnie przydatne w sytuacjach, gdy bezpośrednie obliczenie granicy danej funkcji jest trudne lub niemożliwe․
Intuicyjnie, twierdzenie o trzech funkcjach można przedstawić jako analogię do “kanapki”⁚ jeśli mamy dwie funkcje, które “sklejają” daną funkcję od góry i od dołu, a granice tych funkcji są równe w danym punkcie, to również granica funkcji “środkowej” w tym punkcie będzie równa granicom funkcji “sklejających”․
W kontekście matematycznym, “sklejanie” funkcji oznacza, że funkcja “środkowa” jest ograniczona od góry i od dołu przez dwie inne funkcje․ Formalnie, twierdzenie o trzech funkcjach mówi, że jeśli funkcja (f(x)) jest ograniczona od góry przez funkcję (g(x)) i od dołu przez funkcję (h(x)) w otoczeniu punktu (x_0), a granice funkcji (g(x)) i (h(x)) w punkcie (x_0) są równe, to również granica funkcji (f(x)) w punkcie (x_0) istnieje i jest równa granicom funkcji (g(x)) i (h(x))․
Twierdzenie o trzech funkcjach jest niezwykle użyteczne w wielu dziedzinach matematyki, w tym w analizie, rachunku różniczkowym i całkowym, a także w innych dyscyplinach naukowych, takich jak fizyka, ekonomia i inżynieria․
Definicja granicy funkcji
Zanim przejdziemy do formalnego przedstawienia twierdzenia o trzech funkcjach, niezbędne jest zrozumienie pojęcia granicy funkcji․ Granica funkcji w danym punkcie opisuje zachowanie funkcji w otoczeniu tego punktu․ Intuicyjnie, granica funkcji (f(x)) w punkcie (x_0) to wartość, do której zbliża się funkcja, gdy (x) zbliża się do (x_0) (ale nie jest równe (x_0))․
Formalnie, granica funkcji (f(x)) w punkcie (x_0) jest równa (L), jeśli dla każdego (ε > 0) istnieje (δ > 0) takie, że dla wszystkich (x) spełniających (0 < |x — x_0| < δ) zachodzi (|f(x) ⸺ L| < ε)․ Innymi słowy, dla dowolnie małego (ε) możemy znaleźć (δ) tak małe, że dla wszystkich (x) w otoczeniu (x_0) o promieniu (δ) wartości funkcji (f(x)) będą znajdowały się w otoczeniu (L) o promieniu (ε)․
Definicja ta jest znana jako definicja epsilon-delta granicy funkcji; Jest to formalne sformułowanie intuicyjnego pojęcia granicy, które pozwala na precyzyjne badanie zachowania funkcji w otoczeniu danego punktu․
Zrozumienie definicji granicy funkcji jest kluczowe dla zrozumienia twierdzenia o trzech funkcjach, ponieważ twierdzenie to opiera się na porównaniu granic trzech funkcji w danym punkcie․
Twierdzenie o trzech funkcjach
Twierdzenie o trzech funkcjach, znane również jako twierdzenie o sklejanju, stanowi potężne narzędzie w analizie matematycznej, które pozwala na wyznaczenie granicy funkcji poprzez porównanie jej do dwóch innych funkcji, których granice są już znane․ Formalnie, twierdzenie to brzmi następująco⁚
Niech (f(x), g(x), h(x)) będą funkcjami określonymi w otoczeniu punktu (x_0) (z wyjątkiem ewentualnie samego (x_0))․ Załóżmy, że⁚
- (h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)) dla wszystkich (x) w otoczeniu (x_0) (z wyjątkiem ewentualnie samego (x_0))․
- (lim_{x→x_0} h(x) = L) i (lim_{x→x_0} g(x) = L)․
Wtedy również (lim_{x→x_0} f(x) = L)․
Innymi słowy, jeśli funkcja (f(x)) jest “sklejona” pomiędzy dwiema innymi funkcjami (h(x)) i (g(x)) w otoczeniu punktu (x_0), a granice funkcji (h(x)) i (g(x)) w punkcie (x_0) są równe, to również granica funkcji (f(x)) w punkcie (x_0) istnieje i jest równa granicom funkcji (h(x)) i (g(x))․
Twierdzenie o trzech funkcjach jest niezwykle użyteczne w wielu dziedzinach matematyki, w tym w analizie, rachunku różniczkowym i całkowym, a także w innych dyscyplinach naukowych, takich jak fizyka, ekonomia i inżynieria․
Dowód twierdzenia o trzech funkcjach
Dowód twierdzenia o trzech funkcjach opiera się na definicji epsilon-delta granicy funkcji․ Aby udowodnić, że (lim_{x→x_0} f(x) = L), musimy pokazać, że dla każdego (ε > 0) istnieje (δ > 0) takie, że dla wszystkich (x) spełniających (0 < |x ⸺ x_0| < δ) zachodzi (|f(x) — L| < ε)․
Z założenia wiemy, że (lim_{x→x_0} h(x) = L) i (lim_{x→x_0} g(x) = L)․ Zatem dla każdego (ε > 0) istnieją (δ_1 > 0) i (δ_2 > 0) takie, że dla wszystkich (x) spełniających (0 < |x ⸺ x_0| < δ_1) zachodzi (|h(x) ⸺ L| < ε) oraz dla wszystkich (x) spełniających (0 < |x — x_0| < δ_2) zachodzi (|g(x) ⸺ L| < ε)․
Wybierzmy (δ = min(δ_1, δ_2))․ Wtedy dla wszystkich (x) spełniających (0 < |x ⸺ x_0| < δ) mamy⁚
(L ⸺ ε) < h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) < (L + ε)
Zatem (|f(x) ⸺ L| < ε) dla wszystkich (x) spełniających (0 < |x ⸺ x_0| < δ)․ To dowodzi, że (lim_{x→x_0} f(x) = L)․
Dowód ten pokazuje, że twierdzenie o trzech funkcjach jest bezpośrednią konsekwencją definicji epsilon-delta granicy funkcji․
Zastosowania twierdzenia o trzech funkcjach
Twierdzenie o trzech funkcjach znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki i innych nauk․ Jest to niezwykle potężne narzędzie, które pozwala na wyznaczanie granic funkcji w sposób pośredni, poprzez porównanie jej do dwóch innych funkcji, których granice są już znane․
W analizie matematycznej, twierdzenie o trzech funkcjach jest używane do wyznaczania granic funkcji, które są trudne lub niemożliwe do obliczenia bezpośrednio․ Na przykład, można je zastosować do wyznaczania granic funkcji trygonometrycznych, funkcji wykładniczych lub funkcji logarytmicznych․
W rachunku różniczkowym i całkowym, twierdzenie o trzech funkcjach jest używane do dowodzenia twierdzeń o ciągłości i różniczkowalności funkcji, a także do obliczania granic pochodnych i całek․
Twierdzenie o trzech funkcjach znajduje również zastosowanie w innych dziedzinach nauki, takich jak fizyka, ekonomia i inżynieria․ Na przykład, w fizyce, można je zastosować do analizy ruchu ciał, a w ekonomii, do analizy modeli ekonomicznych․
Przykładowe zastosowania twierdzenia o trzech funkcjach
Aby lepiej zrozumieć zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach, rozważmy kilka przykładów⁚
Przykład 1⁚ Oblicz granicę funkcji (f(x) = x * sin(1/x)) dla (x → 0)․ Wiemy, że (|sin(1/x)| ≤ 1) dla wszystkich (x ≠ 0)․ Zatem ( -|x| ≤ x * sin(1/x) ≤ |x|) dla wszystkich (x ≠ 0)․ Ponieważ (lim_{x→0} -|x| = 0) i (lim_{x→0} |x| = 0), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{x→0} x * sin(1/x) = 0)․
Przykład 2⁚ Wykaż ciągłość funkcji (f(x) = x^2) w punkcie (x_0 = 2)․ Wiemy, że (x^2 ⸺ 4 = (x — 2)(x + 2))․ Zatem dla (x ≠ 2) mamy ((x ⸺ 2)^2 ≤ x^2 — 4 ≤ (x, 2)(x + 2))․ Ponieważ (lim_{x→2} (x — 2)^2 = 0) i (lim_{x→2} (x ⸺ 2)(x + 2) = 0), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{x→2} x^2 ⸺ 4 = 0)․ Stąd (lim_{x→2} x^2 = 4 = f(2)), co dowodzi ciągłości funkcji (f(x)) w punkcie (x_0 = 2)․
Te przykłady pokazują, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do wyznaczania granic funkcji, które są trudne do obliczenia bezpośrednio, oraz do dowodzenia ciągłości funkcji․
Znaczenie twierdzenia o trzech funkcjach w analizie matematycznej
Twierdzenie o trzech funkcjach odgrywa kluczową rolę w analizie matematycznej, stanowiąc jedno z podstawowych narzędzi do badania granic funkcji․ Jego znaczenie wynika z kilku kluczowych aspektów⁚
Po pierwsze, twierdzenie o trzech funkcjach pozwala na wyznaczanie granic funkcji w sposób pośredni, poprzez porównanie jej do dwóch innych funkcji, których granice są już znane․ Jest to szczególnie przydatne w sytuacjach, gdy bezpośrednie obliczenie granicy danej funkcji jest trudne lub niemożliwe․
Po drugie, twierdzenie o trzech funkcjach umożliwia udowadnianie twierdzeń o ciągłości i różniczkowalności funkcji․ W wielu przypadkach, zastosowanie tego twierdzenia pozwala na uproszczenie dowodów i ułatwienie zrozumienia złożonych pojęć․
Po trzecie, twierdzenie o trzech funkcjach jest wykorzystywane w wielu innych dziedzinach matematyki, takich jak rachunek różniczkowy i całkowity, teoria miary, teoria funkcji rzeczywistych i analiza funkcjonalna․ Jego zastosowanie rozciąga się również na inne dyscypliny naukowe, takie jak fizyka, ekonomia i inżynieria․
W skrócie, twierdzenie o trzech funkcjach jest niezwykle potężnym narzędziem, które ma fundamentalne znaczenie dla rozwoju i zastosowania analizy matematycznej․
Podsumowanie
Twierdzenie o trzech funkcjach, znane również jako twierdzenie o sklejanju, jest potężnym narzędziem w analizie matematycznej, które pozwala na wyznaczanie granicy funkcji poprzez porównanie jej do dwóch innych funkcji, których granice są już znane․ Twierdzenie to jest oparte na definicji epsilon-delta granicy funkcji i stanowi fundamentalne narzędzie do badania granic funkcji, które są trudne lub niemożliwe do obliczenia bezpośrednio․
Zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach jest niezwykle szerokie, obejmując różne dziedziny matematyki, takie jak analiza, rachunek różniczkowy i całkowity, teoria miary, teoria funkcji rzeczywistych i analiza funkcjonalna․ Jest ono również wykorzystywane w innych dyscyplinach naukowych, takich jak fizyka, ekonomia i inżynieria․
W skrócie, twierdzenie o trzech funkcjach jest niezwykle ważnym narzędziem w analizie matematycznej, które pozwala na uproszczenie dowodów, ułatwienie zrozumienia złożonych pojęć i rozszerzenie zakresu zastosowań analizy matematycznej․
Przykładowe problemy matematyczne
W celu lepszego zrozumienia zastosowania twierdzenia o trzech funkcjach, przedstawiamy poniżej kilka przykładowych problemów matematycznych․
Obliczanie granicy funkcji
Oblicz granicę funkcji (f(x) = rac{sin(x)}{x}) dla (x → 0)․ Funkcja ta jest nieokreślona dla (x = 0), ale możemy skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach, aby wyznaczyć jej granicę․
Wiemy, że (|sin(x)| ≤ |x|) dla wszystkich (x ≠ 0)․ Dzieląc obie strony przez (|x|) (dla (x ≠ 0)), otrzymujemy (-1 ≤ rac{sin(x)}{x} ≤ 1)․ Zatem funkcja (f(x)) jest “sklejona” pomiędzy dwiema stałymi funkcjami⁚ (-1) i (1)․
Ponieważ (lim_{x→0} -1 = -1) i (lim_{x→0} 1 = 1), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{x→0} rac{sin(x)}{x}) istnieje i jest równe (-1) oraz (1)․ Jednakże granica funkcji nie może być równa dwóm różnym wartościom․ To oznacza, że granica funkcji (f(x)) dla (x → 0) musi istnieć i być równa wartości pośredniej pomiędzy (-1) i (1)․
Aby znaleźć tę wartość, zauważmy, że (lim_{x→0} rac{sin(x)}{x}) jest granicą funkcji nieparzystej, a więc musi być równa zeru․ Zatem (lim_{x→0} rac{sin(x)}{x} = 0)․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do wyznaczania granic funkcji, które są trudne do obliczenia bezpośrednio․
Wykazanie ciągłości funkcji
Wykaż ciągłość funkcji (f(x) = x * |x|) w punkcie (x_0 = 0)․ Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, ale jej ciągłość w punkcie (x_0 = 0) wymaga dodatkowego sprawdzenia;
Wiemy, że (|x| ≤ |x|) dla wszystkich (x)․ Zatem (-|x| ≤ x * |x| ≤ |x|) dla wszystkich (x)․ Ponieważ (lim_{x→0} -|x| = 0) i (lim_{x→0} |x| = 0), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{x→0} x * |x| = 0)․ Ponadto (f(0) = 0 * |0| = 0)․
Stąd (lim_{x→0} f(x) = f(0)), co oznacza, że funkcja (f(x)) jest ciągła w punkcie (x_0 = 0)․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do dowodzenia ciągłości funkcji․ W tym przypadku, twierdzenie to pozwala na uproszczenie dowodu, ponieważ nie musimy bezpośrednio obliczać granicy funkcji (f(x)) w punkcie (x_0 = 0)․ Zamiast tego, możemy skorzystać z faktu, że funkcja (f(x)) jest “sklejona” pomiędzy dwiema funkcjami, których granice w punkcie (x_0 = 0) są już znane․
Zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach do rozwiązania problemów z geometrii
Twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do rozwiązywania problemów z geometrii, które wiążą się z pojęciem granicy․ Na przykład, można je zastosować do wykazania, że pole koła o promieniu (r) jest równe (πr^2)․
Rozważmy koło o promieniu (r) i wpisany w nie n-kąt foremny․ Pole tego n-kąta można wyrazić jako (A_n = rac{1}{2} * n * r^2 * sin(2π/n))․ Zauważmy, że gdy (n) rośnie, n-kąt coraz bardziej zbliża się do koła, a jego pole (A_n) zbliża się do pola koła (πr^2)․
Możemy skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach, aby formalnie udowodnić tę intuicję․ Wiemy, że (0 ≤ sin(2π/n) ≤ 1) dla wszystkich (n ≥ 1)․ Zatem (0 ≤ rac{1}{2} * n * r^2 * sin(2π/n) ≤ rac{1}{2} * n * r^2) dla wszystkich (n ≥ 1)․ Ponieważ (lim_{n→∞} 0 = 0) i (lim_{n→∞} rac{1}{2} * n * r^2 = ∞), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{n→∞} A_n) istnieje i jest równe (πr^2)․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do rozwiązywania problemów z geometrii, które wiążą się z pojęciem granicy․
Zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach do rozwiązania problemów z fizyki
Twierdzenie o trzech funkcjach znajduje zastosowanie w fizyce, zwłaszcza w analizie ruchu ciał․ Na przykład, można je wykorzystać do wyznaczenia prędkości ciała w danym momencie, gdy znane są jego położenie i przyspieszenie․
Rozważmy ciało poruszające się wzdłuż prostej z przyspieszeniem (a)․ Niech (v_0) oznacza prędkość początkową ciała, a (s_0) jego położenie początkowe․ Wtedy położenie ciała w danym momencie (t) można wyrazić jako (s(t) = s_0 + v_0 * t + rac{1}{2} * a * t^2)․ Prędkość ciała w danym momencie (t) można obliczyć jako pochodną położenia względem czasu⁚ (v(t) = s'(t) = v_0 + a * t)․
Jeśli chcemy wyznaczyć prędkość ciała w danym momencie (t_0), możemy skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach․ Zauważmy, że (v(t_0 — h) ≤ v(t_0) ≤ v(t_0 + h)) dla wszystkich (h > 0)․ Ponieważ (lim_{h→0} v(t_0 — h) = v(t_0) = lim_{h→0} v(t_0 + h)), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{h→0} rac{s(t_0 + h) ⸺ s(t_0)}{h} = v(t_0))․ To oznacza, że prędkość ciała w danym momencie (t_0) jest równa pochodnej położenia względem czasu w tym punkcie․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do rozwiązywania problemów z fizyki, które wiążą się z pojęciem granicy․
Zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach do rozwiązania problemów z ekonomii
Twierdzenie o trzech funkcjach może być przydatne w analizie ekonomicznych modeli, zwłaszcza w kontekście optymalizacji․ Na przykład, można je wykorzystać do wyznaczenia optymalnej ilości produkcji w danym przedsiębiorstwie, gdy znane są koszty produkcji i przychody ze sprzedaży․
Rozważmy przedsiębiorstwo, które produkuje pewien towar․ Niech (C(x)) oznacza koszty produkcji (x) jednostek towaru, a (R(x)) oznacza przychody ze sprzedaży (x) jednostek towaru․ Zysk przedsiębiorstwa można wyrazić jako (P(x) = R(x) — C(x))․
Optymalna ilość produkcji (x) jest taka, która maksymalizuje zysk․ Możemy skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach, aby wyznaczyć (x)․ Zauważmy, że dla (x) w pobliżu (x) mamy (P(x), h ≤ P(x) ≤ P(x) + h) dla wszystkich (h > 0)․ Ponieważ (lim_{h→0} P(x) — h = P(x) = lim_{h→0} P(x) + h), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{h→0} rac{P(x* + h) — P(x)}{h} = 0)․ To oznacza, że pochodna zysku względem ilości produkcji w punkcie (x) jest równa zero․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do rozwiązywania problemów z ekonomii, które wiążą się z pojęciem optymalizacji․
Zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach do rozwiązania problemów z inżynierii
Twierdzenie o trzech funkcjach znajduje szerokie zastosowanie w inżynierii, zwłaszcza w analizie systemów dynamicznych․ Na przykład, można je wykorzystać do wyznaczenia stabilności układu dynamicznego, gdy znane są jego równania ruchu․
Rozważmy układ dynamiczny opisany równaniem różniczkowym (x'(t) = f(x(t))), gdzie (x(t)) oznacza stan układu w danym momencie (t)․ Układ jest stabilny, jeśli jego stan zbliża się do pewnego punktu równowagi (x) gdy (t) dąży do nieskończoności․ Punkt równowagi (x) jest taki, że (f(x) = 0)․
Możemy skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach, aby wyznaczyć stabilność układu․ Zauważmy, że dla (x) w pobliżu (x) mamy (f(x) ⸺ h ≤ f(x) ≤ f(x) + h) dla wszystkich (h > 0)․ Ponieważ (lim_{h→0} f(x) ⸺ h = f(x) = lim_{h→0} f(x) + h), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{h→0} rac{f(x + h) — f(x)}{h} = 0)․ To oznacza, że pochodna funkcji (f(x)) w punkcie (x) jest równa zero․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do rozwiązywania problemów z inżynierii, które wiążą się z pojęciem stabilności․
Zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach do rozwiązania problemów z informatyki
Choć twierdzenie o trzech funkcjach jest narzędziem z analizy matematycznej, jego zastosowanie w informatyce może być widoczne w kontekście algorytmów i analizy ich złożoności․ Na przykład, można je wykorzystać do oszacowania czasu działania algorytmu rekurencyjnego, gdy znane są jego czasy działania dla mniejszych danych․
Rozważmy algorytm rekurencyjny, który dzieli problem na mniejsze podproblemy i rekurencyjnie rozwiązuje te podproblemy․ Niech (T(n)) oznacza czas działania algorytmu dla danych o rozmiarze (n)․ Załóżmy, że algorytm dzieli problem na (k) podproblemów o rozmiarze (n/k) i spędza (c) jednostek czasu na łączenie rozwiązań podproblemów․ Wtedy czas działania algorytmu można wyrazić jako (T(n) = k * T(n/k) + c)․
Możemy skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach, aby oszacować czas działania algorytmu dla dużych wartości (n)․ Zauważmy, że dla (n) w pobliżu nieskończoności mamy (c * n^{log_k(k)} — h ≤ T(n) ≤ c * n^{log_k(k)} + h) dla wszystkich (h > 0)․ Ponieważ (lim_{h→0} c * n^{log_k(k)} ⸺ h = c * n^{log_k(k)} = lim_{h→0} c * n^{log_k(k)} + h), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{n→∞} rac{T(n)}{n^{log_k(k)}} = c)․ To oznacza, że czas działania algorytmu dla dużych wartości (n) jest rzędu (n^{log_k(k)}), co jest znane jako złożoność czasowa algorytmu․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do analizy złożoności algorytmów․
Zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach do rozwiązania problemów z matematyki dyskretnej
Choć twierdzenie o trzech funkcjach jest narzędziem z analizy matematycznej, jego zastosowanie w matematyce dyskretnej może być widoczne w kontekście analizy kombinatorycznej, zwłaszcza przy szacowaniu liczby obiektów spełniających określone warunki․ Na przykład, można je wykorzystać do oszacowania liczby ciągów binarnych o długości (n), które nie zawierają dwóch kolejnych zer․
Rozważmy ciągi binarne o długości (n)․ Niech (a_n) oznacza liczbę takich ciągów, które nie zawierają dwóch kolejnych zer․ Zauważmy, że każdy taki ciąg może zaczynać się od 1 lub od 01․ Jeśli ciąg zaczyna się od 1, to pozostałe (n-1) cyfr może tworzyć dowolny ciąg bez dwóch kolejnych zer․ Jeśli ciąg zaczyna się od 01, to pozostałe (n-2) cyfr muszą tworzyć ciąg bez dwóch kolejnych zer, który nie może zaczynać się od 0․ Stąd mamy rekurencję⁚ (a_n = a_{n-1} + a_{n-2}) dla (n ≥ 3)․
Możemy skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach, aby oszacować (a_n) dla dużych wartości (n)․ Zauważmy, że (a_n) jest ciągiem Fibonacciego․ Wiemy, że (a_n) jest ograniczony od dołu przez ( rac{1}{√5} * φ^n), gdzie (φ = rac{1 + √5}{2}) jest złotym podziałem․ Zatem ( rac{1}{√5} * φ^n ≤ a_n ≤ rac{1}{√5} * φ^n + 1) dla wszystkich (n ≥ 1)․ Ponieważ (lim_{n→∞} rac{1}{√5} * φ^n = ∞) i (lim_{n→∞} rac{1}{√5} * φ^n + 1 = ∞), z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że (lim_{n→∞} rac{a_n}{φ^n} = rac{1}{√5})․ To oznacza, że liczba ciągów binarnych o długości (n), które nie zawierają dwóch kolejnych zer, rośnie wykładniczo z (n)․
Ten przykład pokazuje, jak twierdzenie o trzech funkcjach może być użyteczne do analizy kombinatorycznej․