Selekcja losowa z lub bez zwracania (z przykładami i ćwiczeniami)

Selekcja losowa z lub bez zwracania (z przykładami i ćwiczeniami)

Selekcja losowa jest kluczową techniką w statystyce i analizie danych, pozwalającą na badanie populacji poprzez analizę próbek․

Wprowadzenie

Selekcja losowa to fundamentalne pojęcie w statystyce i analizie danych․ Polega ona na wyborze podzbioru elementów z większej populacji w sposób losowy, co oznacza, że każdy element ma równe szanse na wybranie․ Istnieją dwa główne rodzaje selekcji losowej⁚ selekcja z powtórzeniami (zwracaniem) i selekcja bez powtórzeń (bez zwracania)․

W selekcji z powtórzeniami, po wybraniu elementu jest on zwracany do populacji, co pozwala na jego ponowne wybranie․ Przykładem może być losowanie kuli z urny, gdzie po każdym losowaniu kula jest zwracana do urny․ W selekcji bez powtórzeń, wybrany element nie jest zwracany do populacji, co uniemożliwia jego ponowne wybranie․ Przykładem może być losowanie kart z talii, gdzie po wyciągnięciu karty nie jest ona zwracana do talii․

Zrozumienie różnicy między tymi dwoma rodzajami selekcji losowej jest kluczowe dla prawidłowego zastosowania narzędzi statystycznych i analizy danych, ponieważ wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia określonych zdarzeń i rozkład prawdopodobieństwa․

Podstawowe pojęcia

Zanim przejdziemy do szczegółowego omówienia selekcji losowej z lub bez powtórzeń, należy zdefiniować kilka podstawowych pojęć․

Pobieranie próby

Pobieranie próby to proces wyboru podzbioru elementów z większej populacji w celu przeprowadzenia badań lub analizy; Próba powinna być reprezentatywna dla całej populacji, aby wnioski wyciągnięte na jej podstawie były wiarygodne․

Próba losowa

Próba losowa to próba, w której każdy element populacji ma równe szanse na wybranie․ Jest to kluczowe dla zapewnienia obiektywności i wiarygodności wyników badań․

Próba z powtórzeniami

Próba z powtórzeniami (zwracaniem) to próba, w której po wybraniu elementu jest on zwracany do populacji, co pozwala na jego ponowne wybranie․

Próba bez powtórzeń

Próba bez powtórzeń (bez zwracania) to próba, w której wybrany element nie jest zwracany do populacji, co uniemożliwia jego ponowne wybranie․

Pobieranie próby

Pobieranie próby jest kluczowym elementem w statystyce i analizie danych․ Polega ono na wyborze podzbioru elementów z większej populacji w celu przeprowadzenia badań lub analizy․ Cel pobór próby to zbadanie cech populacji poprzez analizę wybranej próby, a następnie uogólnienie wniosków na całą populację․

Istnieje wiele różnych metod pobierania próby, ale najważniejsze jest, aby wybrana próba była reprezentatywna dla całej populacji․ Oznacza to, że próba powinna odzwierciedlać rozkład cech w populacji, aby wnioski wyciągnięte na jej podstawie były wiarygodne․

Na przykład, jeśli chcemy zbadać średnią wysokość mężczyzn w Polsce, nie możemy wybrać próby tylko z jednego miasta, ponieważ może ona być obciążona i nie odzwierciedlać rzeczywistej średniej wysokości mężczyzn w całej Polsce․ Należy wybrać próbę losową, która będzie obejmowała mężczyzn z różnych regionów Polski, aby zapewnić reprezentatywność;

Próba losowa

Próba losowa to podzbiór elementów wybranych z populacji w sposób losowy, co oznacza, że każdy element populacji ma równe szanse na wybranie․ Jest to kluczowe pojęcie w statystyce i analizie danych, ponieważ pozwala na zmniejszenie wpływu czynników losowych na wyniki badań i zwiększenie wiarygodności wniosków․

Istnieją różne rodzaje prób losowych, w tym⁚

• Próba prosta losowa⁚ każdy element populacji ma równe szanse na wybranie, a wybór jednego elementu nie wpływa na wybór innych elementów․
• Próba systematyczna⁚ elementy są wybierane z populacji w regularnych odstępach czasu lub przestrzeni․
• Próba warstwowa⁚ populacja jest podzielona na warstwy (np․ według wieku, płci, dochodu), a z każdej warstwy wybierana jest próba losowa․
• Próba klastrowa⁚ populacja jest podzielona na klastry (np․ miasta, szkoły), a z każdego klastra wybierana jest próba losowa․

Wybór odpowiedniego rodzaju próby losowej zależy od specyfiki badanej populacji i celów badań;

Próba z powtórzeniami

Próba z powtórzeniami (zwracaniem) to rodzaj pobierania próby, w którym po wybraniu elementu jest on zwracany do populacji, co pozwala na jego ponowne wybranie w kolejnych losowaniach․ W tym przypadku, każdy element ma równe szanse na wybranie w każdym losowaniu, niezależnie od tego, czy był już wcześniej wybrany․

Przykładem próby z powtórzeniami może być losowanie kuli z urny, gdzie po każdym losowaniu kula jest zwracana do urny․ Jeśli w urnie znajdują się 5 kul (czerwona, niebieska, zielona, żółta, czarna), to w każdym losowaniu mamy 5 możliwych wyników, a każde z nich ma takie samo prawdopodobieństwo․

Próba z powtórzeniami jest często stosowana w sytuacjach, gdy rozmiar populacji jest duży lub gdy chcemy zapewnić, że każdy element ma równe szanse na wybranie, nawet jeśli był już wcześniej wybrany․

Próba bez powtórzeń

Próba bez powtórzeń (bez zwracania) to rodzaj pobierania próby, w którym wybrany element nie jest zwracany do populacji, co uniemożliwia jego ponowne wybranie w kolejnych losowaniach․ W tym przypadku, prawdopodobieństwo wyboru każdego elementu zmienia się w zależności od tego, które elementy zostały już wybrane․

Przykładem próby bez powtórzeń może być losowanie kart z talii, gdzie po wyciągnięciu karty nie jest ona zwracana do talii․ Jeśli wyciągniemy asa pik, to w kolejnym losowaniu nie możemy już wyciągnąć asa pik, ponieważ karta ta została usunięta z talii․

Próba bez powtórzeń jest często stosowana w sytuacjach, gdy rozmiar populacji jest ograniczony lub gdy chcemy uniknąć wielokrotnego wyboru tego samego elementu․

Selekcja losowa z powtórzeniami

Definicja

Selekcja losowa z powtórzeniami (zwracaniem) to proces wyboru elementów z populacji, w którym każdy element może być wybrany wielokrotnie․ Po każdym wyborze element jest zwracany do populacji, co oznacza, że ​​jego prawdopodobieństwo wyboru w kolejnych losowaniach pozostaje takie samo․

Prawdopodobieństwo

W selekcji losowej z powtórzeniami prawdopodobieństwo wyboru konkretnego elementu w każdym losowaniu jest stałe i równe $ rac{1}{N} $, gdzie $N$ jest liczbą elementów w populacji․

Przykład

Wyobraźmy sobie urnę z 5 kulami⁚ 2 czerwonymi, 2 niebieskimi i 1 zieloną․ Losujemy kulę z urny, zapisujemy jej kolor i zwracamy ją do urny․ Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w każdym losowaniu wynosi $ rac{2}{5} $, ponieważ są 2 kule czerwone na 5 kul w urnie․

Ćwiczenie

W urnie znajduje się 10 kul⁚ 3 białe, 4 czarne i 3 czerwone․ Losujemy kulę z urny, zapisujemy jej kolor i zwracamy ją do urny․ Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w trzech kolejnych losowaniach?

Definicja

Selekcja losowa z powtórzeniami, znana również jako selekcja ze zwracaniem, to proces wyboru elementów z populacji, w którym każdy element może być wybrany wielokrotnie․ Po każdym wyborze element jest zwracany do populacji, co oznacza, że ​​jego prawdopodobieństwo wyboru w kolejnych losowaniach pozostaje takie samo․

W praktyce oznacza to, że po wybraniu elementu nie eliminujemy go z populacji, a tym samym możemy go wybrać ponownie w kolejnych losowaniach․ Przykładem może być losowanie kuli z urny, gdzie po każdym losowaniu kula jest zwracana do urny․

Selekcja losowa z powtórzeniami jest często stosowana w sytuacjach, gdy chcemy zapewnić, że każdy element ma równe szanse na wybranie w każdym losowaniu, nawet jeśli był już wcześniej wybrany․

Prawdopodobieństwo

W selekcji losowej z powtórzeniami prawdopodobieństwo wyboru konkretnego elementu w każdym losowaniu jest stałe i równe $ rac{1}{N} $, gdzie $N$ jest liczbą elementów w populacji․ Oznacza to, że ​​każdy element ma równe szanse na wybranie w każdym losowaniu, niezależnie od tego, czy był już wcześniej wybrany․

Na przykład, jeśli mamy urnę z 10 kulami, to prawdopodobieństwo wylosowania jednej konkretnej kuli w każdym losowaniu wynosi $ rac{1}{10} $․ Jeśli wylosujemy kulę i zwrócimy ją do urny, to w kolejnym losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania tej samej kuli będzie nadal wynosić $ rac{1}{10} $․

Prawdopodobieństwo wyboru konkretnego elementu w kilku kolejnych losowaniach jest iloczynem prawdopodobieństw wyboru tego elementu w każdym z tych losowań․ Na przykład, prawdopodobieństwo wylosowania tej samej kuli w dwóch kolejnych losowaniach wynosi $ rac{1}{10} * rac{1}{10} = rac{1}{100} $․

Przykład

Wyobraźmy sobie urnę z 5 kulami⁚ 2 czerwonymi, 2 niebieskimi i 1 zieloną․ Losujemy kulę z urny, zapisujemy jej kolor i zwracamy ją do urny․ Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w trzech kolejnych losowaniach․

W każdym losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wynosi $ rac{2}{5} $, ponieważ są 2 kule czerwone na 5 kul w urnie․ Ponieważ kula jest zwracana do urny po każdym losowaniu, prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w kolejnych losowaniach pozostaje takie samo․

Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w trzech kolejnych losowaniach wynosi⁚

$ rac{2}{5} * rac{2}{5} * rac{2}{5} = rac{8}{125} $

Oznacza to, że ​​prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w trzech kolejnych losowaniach wynosi $ rac{8}{125} $․

Ćwiczenie

W urnie znajduje się 10 kul⁚ 3 białe, 4 czarne i 3 czerwone․ Losujemy kulę z urny, zapisujemy jej kolor i zwracamy ją do urny․ Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w trzech kolejnych losowaniach?

Aby rozwiązać to zadanie, należy pamiętać, że w selekcji losowej z powtórzeniami prawdopodobieństwo wylosowania konkretnego elementu w każdym losowaniu jest stałe i równe $ rac{1}{N} $, gdzie $N$ jest liczbą elementów w populacji․

W tym przypadku, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w każdym losowaniu wynosi $ rac{3}{10} $, ponieważ są 3 kule białe na 10 kul w urnie․

Zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w trzech kolejnych losowaniach wynosi⁚

$ rac{3}{10} * rac{3}{10} * rac{3}{10} = rac{27}{1000} $

Oznacza to, że ​​prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w trzech kolejnych losowaniach wynosi $ rac{27}{1000} $․

Selekcja losowa bez powtórzeń

Definicja

Selekcja losowa bez powtórzeń (bez zwracania) to proces wyboru elementów z populacji, w którym każdy element może być wybrany tylko raz․ Po każdym wyborze element jest usuwany z populacji, co oznacza, że ​​jego prawdopodobieństwo wyboru w kolejnych losowaniach jest równe zero․

Prawdopodobieństwo

W selekcji losowej bez powtórzeń prawdopodobieństwo wyboru konkretnego elementu w każdym losowaniu zależy od tego, które elementy zostały już wybrane․ Prawdopodobieństwo wyboru elementu w pierwszym losowaniu wynosi $ rac{1}{N} $, gdzie $N$ jest liczbą elementów w populacji․

Przykład

Wyobraźmy sobie talię kart, z której losujemy karty bez zwracania․ W pierwszym losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania asa pik wynosi $ rac{1}{52} $․ Jeśli wylosujemy asa pik w pierwszym losowaniu, to w drugim losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania asa pik wynosi zero, ponieważ as pik został usunięty z talii․

Ćwiczenie

W urnie znajduje się 5 kul⁚ 2 czerwone, 2 niebieskie i 1 zielona․ Losujemy 2 kule z urny bez zwracania․ Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czerwonych?

Definicja

Selekcja losowa bez powtórzeń, znana również jako selekcja bez zwracania, to proces wyboru elementów z populacji, w którym każdy element może być wybrany tylko raz․ Po każdym wyborze element jest usuwany z populacji, co oznacza, że ​​jego prawdopodobieństwo wyboru w kolejnych losowaniach jest równe zero․

W praktyce oznacza to, że po wybraniu elementu eliminujemy go z populacji, a tym samym nie możemy go wybrać ponownie w kolejnych losowaniach․ Przykładem może być losowanie kart z talii, gdzie po wyciągnięciu karty nie jest ona zwracana do talii․

Selekcja losowa bez powtórzeń jest często stosowana w sytuacjach, gdy chcemy uniknąć wielokrotnego wyboru tego samego elementu․

Prawdopodobieństwo

W selekcji losowej bez powtórzeń prawdopodobieństwo wyboru konkretnego elementu w każdym losowaniu zależy od tego, które elementy zostały już wybrane․ Prawdopodobieństwo wyboru elementu w pierwszym losowaniu wynosi $ rac{1}{N} $, gdzie $N$ jest liczbą elementów w populacji․

W drugim losowaniu prawdopodobieństwo wyboru elementu wynosi $ rac{1}{N-1} $, ponieważ jeden element został już usunięty z populacji․ W trzecim losowaniu prawdopodobieństwo wyboru elementu wynosi $ rac{1}{N-2} $, ponieważ dwa elementy zostały już usunięte z populacji, i tak dalej․

Na przykład, jeśli mamy urnę z 10 kulami, to prawdopodobieństwo wylosowania jednej konkretnej kuli w pierwszym losowaniu wynosi $ rac{1}{10} $․ Jeśli wylosujemy kulę i nie zwrócimy jej do urny, to w drugim losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania tej samej kuli będzie wynosić zero, a prawdopodobieństwo wylosowania innej kuli będzie wynosić $ rac{1}{9} $․

Przykład

Wyobraźmy sobie talię kart, z której losujemy karty bez zwracania․ Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kart w kolorze czerwonym․

W pierwszym losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania karty w kolorze czerwonym wynosi $ rac{26}{52} = rac{1}{2} $, ponieważ w talii jest 26 kart czerwonych na 52 karty․

W drugim losowaniu, po wyciągnięciu pierwszej karty w kolorze czerwonym, w talii pozostaje 25 kart czerwonych i 51 kart w sumie․ Zatem prawdopodobieństwo wylosowania drugiej karty w kolorze czerwonym wynosi $ rac{25}{51} $․

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kart w kolorze czerwonym wynosi iloczyn prawdopodobieństw wylosowania każdej z tych kart⁚

$ rac{1}{2} * rac{25}{51} = rac{25}{102} $

Oznacza to, że ​​prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kart w kolorze czerwonym wynosi $ rac{25}{102} $․

Ćwiczenie

W urnie znajduje się 5 kul⁚ 2 czerwone, 2 niebieskie i 1 zielona․ Losujemy 2 kule z urny bez zwracania․ Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czerwonych?

Aby rozwiązać to zadanie, należy pamiętać, że w selekcji losowej bez powtórzeń prawdopodobieństwo wyboru konkretnego elementu w każdym losowaniu zależy od tego, które elementy zostały już wybrane․

W pierwszym losowaniu prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wynosi $ rac{2}{5} $, ponieważ są 2 kule czerwone na 5 kul w urnie․

W drugim losowaniu, po wyciągnięciu pierwszej kuli czerwonej, w urnie pozostaje 1 kula czerwona i 4 kule w sumie․ Zatem prawdopodobieństwo wylosowania drugiej kuli czerwonej wynosi $ rac{1}{4} $․

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czerwonych wynosi iloczyn prawdopodobieństw wylosowania każdej z tych kul⁚

$ rac{2}{5} * rac{1}{4} = rac{1}{10} $

Oznacza to, że ​​prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czerwonych wynosi $ rac{1}{10} $․

Rozkład dwumianowy

Definicja

Rozkład dwumianowy jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa w statystyce․ Opisuje on prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby sukcesów w serii niezależnych prób, gdzie każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki⁚ sukces lub porażka․

Wzór na prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie wynosi $p$, jest dane wzorem⁚

$P(X = k) = {n oose k} p^k (1-p)^{n-k}$

gdzie ${n oose k} = rac{n!}{k!(n-k)!}$ jest współczynnikiem dwumianowym, który reprezentuje liczbę sposobów na wybranie $k$ sukcesów z $n$ prób․

Przykład

Rzucamy monetą 5 razy․ Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów?

Ćwiczenie

W fabryce produkującej żarówki, 5% żarówek jest wadliwych․ Losujemy 10 żarówek․ Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych żarówek będzie dokładnie 2 żarówki wadliwe?

Definicja

Rozkład dwumianowy jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa w statystyce․ Opisuje on prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby sukcesów w serii niezależnych prób, gdzie każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki⁚ sukces lub porażka․

Przykładem może być rzucanie monetą․ Każde rzucanie monetą jest niezależną próbą, a wynik każdego rzucania może być albo orzeł (sukces), albo reszka (porażka)․ Rozkład dwumianowy pozwala obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby orłów w serii rzutów monetą․

Innym przykładem może być badanie skuteczności nowego leku․ Każdy pacjent, który przyjmuje lek, jest niezależną próbą, a wynik może być albo pozytywny (sukces), albo negatywny (porażka)․ Rozkład dwumianowy pozwala obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby pozytywnych wyników w grupie pacjentów, którzy przyjmują lek․

Wzór na prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie wynosi $p$, jest dane wzorem⁚

$P(X = k) = {n oose k} p^k (1-p)^{n-k}$

gdzie ${n oose k} = rac{n!}{k!(n-k)!}$ jest współczynnikiem dwumianowym, który reprezentuje liczbę sposobów na wybranie $k$ sukcesów z $n$ prób․

Na przykład, jeśli rzucamy monetą 5 razy, to prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów jest dane wzorem⁚

$P(X = 3) = {5 oose 3} (0․5)^3 (0․5)^2 = 10 * 0․125 * 0․25 = 0․3125$

Oznacza to, że ​​prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów w 5 rzutach monetą wynosi 0․3125․

Przykład

Rzucamy monetą 5 razy․ Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów?

W tym przypadku mamy $n = 5$ prób, $k = 3$ sukcesów (orłów) i $p = 0․5$ prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie․

Zatem prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów w 5 rzutach monetą wynosi⁚

$P(X = 3) = {5 oose 3} (0․5)^3 (0․5)^2 = 10 * 0․125 * 0․25 = 0․3125$

Oznacza to, że ​​prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów w 5 rzutach monetą wynosi 0․3125․

Możemy również obliczyć to prawdopodobieństwo, korzystając z tablic rozkładu dwumianowego lub z odpowiedniego oprogramowania statystycznego․

Ćwiczenie

W fabryce produkującej żarówki, 5% żarówek jest wadliwych․ Losujemy 10 żarówek․ Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych żarówek będzie dokładnie 2 żarówki wadliwe?

W tym przypadku mamy $n = 10$ prób, $k = 2$ sukcesów (żarówki wadliwe) i $p = 0․05$ prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie․

Zatem prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych żarówek będzie dokładnie 2 żarówki wadliwe, wynosi⁚

$P(X = 2) = {10 oose 2} (0․05)^2 (0․95)^8 = 45 * 0․0025 * 0․6634 = 0․0746$

Oznacza to, że ​​prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych żarówek będzie dokładnie 2 żarówki wadliwe, wynosi 0․0746․

Możemy również obliczyć to prawdopodobieństwo, korzystając z tablic rozkładu dwumianowego lub z odpowiedniego oprogramowania statystycznego․

Rozkład hipergeometryczny

Definicja

Rozkład hipergeometryczny jest rozkładem prawdopodobieństwa, który opisuje prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby sukcesów w próbie bez zwracania, gdzie próba pobierana jest z skończonej populacji, która zawiera dwa rodzaje elementów⁚ sukcesy i porażki․

Wzór na prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w próbie o rozmiarze $n$ z populacji o rozmiarze $N$, gdzie $K$ jest liczbą sukcesów w populacji, jest dane wzorem⁚

$P(X = k) = rac{{K oose k} {N-K oose {n-k}}}{N oose n}$

gdzie ${a oose b} = rac{a!}{b!(a-b)!}$ jest współczynnikiem dwumianowym․

Przykład

W pudełku znajduje się 10 żarówek, z czego 3 są wadliwe․ Losujemy 4 żarówki bez zwracania․ Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych żarówek będą dokładnie 2 żarówki wadliwe?

Ćwiczenie

W grupie 20 osób, 12 jest kobiet․ Losujemy 5 osób bez zwracania․ Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych osób będą dokładnie 3 kobiety?