Pochodna Kotangensa: Definicja, Obliczenie, Dowód

Pochodna Kotangensa⁚ Definicja, Obliczenie, Dowód, Ćwiczenia

W tym artykule omówimy pochodną funkcji kotangensowej. Zbadamy definicję kotangensa, obliczymy jego pochodną, przedstawimy dowód i rozwiążemy przykładowe zadania. Pochodna kotangensa jest ważnym pojęciem w rachunku różniczkowym i znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki i fizyki.

Wprowadzenie

W matematyce, pochodna funkcji jest fundamentalnym pojęciem w rachunku różniczkowym, które opisuje tempo zmian funkcji w danym punkcie. Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Pochodne funkcji są szeroko stosowane w wielu dziedzinach nauki i inżynierii, np; w fizyce do opisu prędkości i przyspieszenia, w ekonomii do analizy funkcji popytu i podaży, a także w geometrii do badania krzywych i powierzchni.

W tym artykule skupimy się na pochodnej funkcji kotangensowej, która jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych. Kotangens jest definiowany jako stosunek przyległego boku trójkąta prostokątnego do przeciwległego boku. W radianach, kotangens kąta (x) jest równy⁚ $c o t (x) = r a c c o s (x) s i n (x) .$ Pochodna kotangensa jest ważnym narzędziem w rachunku różniczkowym, ponieważ pozwala nam na analizowanie zmian funkcji kotangensowej w zależności od zmiany argumentu. Znajomość pochodnej kotangensa jest niezbędna do rozwiązywania wielu problemów z zakresu analizy matematycznej i zastosowań rachunku różniczkowego.

1.1. Definicja Kotangensa

Kotangens jest jedną z sześciu podstawowych funkcji trygonometrycznych, które opisują relacje między bokami i kątami w trójkącie prostokątnym. W kontekście trójkąta prostokątnego, kotangens kąta jest definiowany jako stosunek długości przyległego boku do długości przeciwległego boku. Innymi słowy, jeśli (x) jest kątem w trójkącie prostokątnym, to⁚ $c o t (x) = r a c p r z y l e g ł y p r z e c i w l e g ł y .$

Kotangens może być również definiowany w kontekście koła jednostkowego. Koło jednostkowe jest okręgiem o promieniu równym 1, którego środek znajduje się w początku układu współrzędnych. Jeśli punkt na kole jednostkowym ma współrzędne (x, y), to kotangens kąta (x) jest równy⁚ $c o t (x) = r a c x y .$

Ważne jest, aby pamiętać, że kotangens jest funkcją okresową o okresie (π). Oznacza to, że⁚ $c o t (x + π) = c o t (x)$ dla wszystkich wartości (x). Ponadto, kotangens ma asymptoty pionowe w punktach, gdzie sinus kąta jest równy 0, czyli w punktach (kπ), gdzie (k) jest liczbą całkowitą.

1.2. Pochodne Funkcji Trygonometrycznych

Pochodne funkcji trygonometrycznych są kluczowe w rachunku różniczkowym i znajdują szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce i inżynierii. Pochodna funkcji trygonometrycznej opisuje tempo zmian tej funkcji w danym punkcie. W przypadku funkcji trygonometrycznych, pochodne są wyrażane za pomocą innych funkcji trygonometrycznych, co czyni je szczególnie interesującymi i użytecznymi.

Najważniejsze pochodne funkcji trygonometrycznych to⁚

Pochodna sinusa⁚ $(s i n (x))^{'} = c o s (x)$
Pochodna cosinusa⁚ $(c o s (x))^{'} = - s i n (x)$
Pochodna tangensa⁚ $(t a n (x))^{'} = s e c^{2} (x)$
Pochodna cotangensa⁚ $(c o t (x))^{'} = - c s c^{2} (x)$
Pochodna secansa⁚ $(s e c (x))^{'} = s e c (x) t a n (x)$
Pochodna cosecansa⁚ $(c s c (x))^{'} = - c s c (x) c o t (x)$

Pochodne funkcji trygonometrycznych są wykorzystywane do rozwiązywania równań różniczkowych, badania krzywych i powierzchni, a także do analizy zjawisk fizycznych, takich jak ruch harmoniczny prosty.

Obliczenie Pochodnej Kotangensa

Obliczenie pochodnej kotangensa można przeprowadzić za pomocą reguły ilorazu. Reguła ilorazu jest jedną z podstawowych reguł różniczkowania, która pozwala na obliczenie pochodnej funkcji, która jest ilorazem dwóch innych funkcji. Zgodnie z tą regułą, pochodna funkcji (f(x)/g(x)) jest równa⁚ $(r a c f (x) g (x))^{'} = r a c g (x) f^{'} (x) ⎯ f (x) g^{'} (x) (g (x))^{2} .$

W przypadku kotangensa, możemy go zapisać jako iloraz cosinusa i sinusa⁚ $c o t (x) = r a c c o s (x) s i n (x) .$ Zatem, stosując regułę ilorazu, otrzymujemy⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c s i n (x) (- s i n (x)) ⎯ c o s (x) c o s (x) (s i n (x))^{2} .$

Po uproszczeniu wyrażenia, otrzymujemy⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - s i n^{2} (x) ⎯ c o s^{2} (x) s i n^{2} (x) .$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej (sin^2(x) + cos^2(x) = 1), możemy uprościć wyrażenie do⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - 1 s i n^{2} (x) .$

Wreszcie, możemy wyrazić pochodną kotangensa za pomocą funkcji cosecanta⁚ $(c o t (x))^{'} = - c s c^{2} (x) .$

2.1. Zastosowanie Reguły Ilorazu

Aby obliczyć pochodną funkcji kotangensowej, wykorzystamy regułę ilorazu. Reguła ta jest jednym z podstawowych narzędzi rachunku różniczkowego, pozwalającym na obliczanie pochodnych funkcji, które są ilorazem dwóch innych funkcji. Wzór na regułę ilorazu jest następujący⁚ $(r a c f (x) g (x))^{'} = r a c g (x) f^{'} (x) ‒ f (x) g^{'} (x) (g (x))^{2} .$

Funkcja kotangensowa może być wyrażona jako iloraz funkcji cosinusowej i sinusowej⁚ $c o t (x) = r a c c o s (x) s i n (x) .$

Aby zastosować regułę ilorazu, musimy zidentyfikować funkcje (f(x)) i (g(x)). W tym przypadku⁚ $f (x) = c o s (x)$ $g (x) = s i n (x)$

Następnie obliczamy pochodne funkcji (f(x)) i (g(x))⁚ $f^{'} (x) = - s i n (x)$ $g^{'} (x) = c o s (x)$

Wstawiając te wartości do wzoru na regułę ilorazu, otrzymujemy⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c s i n (x) (- s i n (x)) ‒ c o s (x) c o s (x) (s i n (x))^{2} .$

Ten krok pozwala nam przedstawić pochodną kotangensa w postaci wyrażenia, które można dalej uprościć.

2.2. Uproszczenie Wyrażenia

Po zastosowaniu reguły ilorazu do obliczenia pochodnej kotangensa, otrzymujemy następujące wyrażenie⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c s i n (x) (- s i n (x)) ⎯ c o s (x) c o s (x) (s i n (x))^{2} .$

Aby uprościć to wyrażenie, możemy rozwinąć i połączyć podobne składniki⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - s i n^{2} (x) ⎯ c o s^{2} (x) s i n^{2} (x) .$

Następnie możemy skorzystać z podstawowej tożsamości trygonometrycznej⁚ $s i n^{2} (x) + c o s^{2} (x) = 1.$

Z tej tożsamości wynika, że⁚ $- s i n^{2} (x) ‒ c o s^{2} (x) = - 1.$

Wstawiając to do naszego wyrażenia, otrzymujemy⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - 1 s i n^{2} (x) .$

Na koniec możemy wyrazić pochodną kotangensa za pomocą funkcji cosecanta⁚ $(c o t (x))^{'} = - c s c^{2} (x) .$

To ostateczne wyrażenie jest prostym i łatwym do zapamiętania wzorem na pochodną kotangensa.

Dowód Pochodnej Kotangensa

Aby udowodnić, że pochodna kotangensa jest równa (-csc^2(x)), możemy skorzystać z definicji pochodnej. Definicja pochodnej funkcji (f(x)) w punkcie (x) jest wyrażona następującym wzorem⁚ $f^{'} (x) = l i m_{h - > 0} r a c f (x + h) ‒ f (x) h .$

W przypadku funkcji kotangensa, mamy⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c c o t (x + h) ‒ c o t (x) h .$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej (cot(x) = rac{cos(x)}{sin(x)}), możemy przekształcić wyrażenie⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c r a c c o s (x + h) s i n (x + h) ⎯ r a c c o s (x) s i n (x) h .$

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i uproszczeniu, otrzymujemy⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c c o s (x + h) s i n (x) ⎯ c o s (x) s i n (x + h) h s i n (x + h) s i n (x) .$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej (sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)), możemy uprościć licznik⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c - s i n (h) h s i n (x + h) s i n (x) .$

Zauważmy, że (lim_{h->0} rac{sin(h)}{h} = 1). Wstawiając to do naszego wyrażenia, otrzymujemy⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - 1 s i n (x + h) s i n (x) .$

Ponieważ (h) dąży do 0, (sin(x+h)) dąży do (sin(x)), a zatem⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - 1 s i n^{2} (x) = - c s c^{2} (x) .$

Udowodniliśmy zatem, że pochodna kotangensa jest równa (-csc^2(x)).

3.1. Definicja Pochodnej

Pochodna funkcji jest podstawowym pojęciem w rachunku różniczkowym. Intuicyjnie, pochodna funkcji w danym punkcie reprezentuje tempo zmian funkcji w tym punkcie. Innymi słowy, pochodna mówi nam, jak szybko funkcja zmienia się w danym punkcie. Geometrycznie, pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie;

Formalnie, pochodna funkcji (f(x)) w punkcie (x) jest definiowana jako granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost (h) dąży do zera⁚ $f^{'} (x) = l i m_{h - > 0} r a c f (x + h) ‒ f (x) h .$

Iloraz różnicowy (rac{f(x+h) ‒ f(x)}{h}) reprezentuje nachylenie siecznej przechodzącej przez punkty (x, f(x)) i (x+h, f(x+h)) na wykresie funkcji (f(x)). Gdy (h) dąży do zera, sieczna zbliża się do stycznej w punkcie (x), a iloraz różnicowy zbliża się do pochodnej funkcji w tym punkcie.

Pochodna funkcji jest zazwyczaj oznaczana symbolem (f'(x)) lub (rac{df}{dx}). Pochodna funkcji (f(x)) w punkcie (x) jest czasami nazywana pochodną funkcji (f) w punkcie (x).

Pochodna funkcji jest ważnym narzędziem w matematyce i ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria, ekonomia i inne.

3.2. Granica ilorazu różnicowego

Aby udowodnić wzór na pochodną kotangensa, wykorzystamy definicję pochodnej, która opiera się na granicy ilorazu różnicowego. Iloraz różnicowy to wyrażenie, które opisuje nachylenie siecznej przechodzącej przez dwa punkty na wykresie funkcji. Gdy odległość między tymi punktami maleje do zera, sieczna zbliża się do stycznej, a iloraz różnicowy zbliża się do pochodnej funkcji w danym punkcie.

W przypadku funkcji kotangensa, iloraz różnicowy w punkcie (x) jest dany wzorem⁚ $r a c c o t (x + h) ⎯ c o t (x) h .$

Aby obliczyć pochodną kotangensa, musimy znaleźć granicę tego ilorazu różnicowego, gdy (h) dąży do zera⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c c o t (x + h) ‒ c o t (x) h .$

Korzystając z definicji kotangensa jako ilorazu cosinusa i sinusa, możemy przekształcić to wyrażenie⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c r a c c o s (x + h) s i n (x + h) ‒ r a c c o s (x) s i n (x) h .$

Następnie, sprowadzając wyrażenie do wspólnego mianownika i upraszczając, otrzymujemy⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c c o s (x + h) s i n (x) ‒ c o s (x) s i n (x + h) h s i n (x + h) s i n (x) .$

Zastosowanie tożsamości trygonometrycznej (sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)) pozwala nam uprościć licznik i otrzymać⁚ $(c o t (x))^{'} = l i m_{h - > 0} r a c - s i n (h) h s i n (x + h) s i n (x) .$

Korzystając z faktu, że (lim_{h->0} rac{sin(h)}{h} = 1), możemy uprościć wyrażenie i otrzymać⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - 1 s i n (x + h) s i n (x) .$

Na koniec, ponieważ (h) dąży do zera, (sin(x+h)) dąży do (sin(x)), a zatem⁚ $(c o t (x))^{'} = r a c - 1 s i n^{2} (x) = - c s c^{2} (x) .$

W ten sposób udowodniliśmy, że pochodna kotangensa jest równa (-csc^2(x)).

Ćwiczenia

Aby utrwalić wiedzę na temat pochodnej kotangensa, warto rozwiązać kilka przykładowych zadań. Poniżej przedstawiamy kilka przykładowych ćwiczeń, które pomogą w zrozumieniu i zastosowaniu omawianego pojęcia.

Oblicz pochodną funkcji (f(x) = cot(2x)).
Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji (f(x) = cot(x)) w punkcie (x = rac{π}{4}).
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji (f(x) = cot(x) + x).
Oblicz pochodną drugiego rzędu funkcji (f(x) = cot(x^2)).
Znajdź ekstrema lokalne funkcji (f(x) = cot(x) ⎯ sin(x)).

Rozwiązania do tych ćwiczeń można znaleźć w sekcji “Rozwiązania”. Zachęcamy do samodzielnego rozwiązania zadań przed zapoznaniem się z odpowiedziami.

Dodatkowo, warto poszukać innych przykładów i ćwiczeń w podręcznikach do rachunku różniczkowego lub w zasobach internetowych. Rozwiązywanie różnorodnych zadań pomoże w lepszym zrozumieniu pochodnej kotangensa i jej zastosowań.

4;1. Przykładowe Zadania

Oblicz pochodną funkcji (f(x) = cot(2x)).
Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji (f(x) = cot(x)) w punkcie (x = rac{π}{4}).
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji (f(x) = cot(x) + x).
Oblicz pochodną drugiego rzędu funkcji (f(x) = cot(x^2)).
Znajdź ekstrema lokalne funkcji (f(x) = cot(x) ⎯ sin(x)).

Rozwiązania do tych ćwiczeń można znaleźć w sekcji “Rozwiązania”. Zachęcamy do samodzielnego rozwiązania zadań przed zapoznaniem się z odpowiedziami.

4.2. Rozwiązania

Poniżej przedstawiamy rozwiązania do przykładowych zadań z sekcji “Przykładowe Zadania”.

Oblicz pochodną funkcji (f(x) = cot(2x)).

Stosując regułę łańcuchową, otrzymujemy⁚

f^{'} (x) = - c s c^{2} (2 x) * (2 x)^{'} = - 2 c s c^{2} (2 x) .

Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji (f(x) = cot(x)) w punkcie (x = rac{π}{4}).

Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej funkcji w punkcie (x = rac{π}{4})⁚

f^{'} (r a c π 4) = - c s c^{2} (r a c π 4) = - 2.

Wartość funkcji w tym punkcie wynosi⁚

f (r a c π 4) = c o t (r a c π 4) = 1.

Równanie stycznej ma postać⁚

y ‒ 1 = - 2 (x ‒ r a c π 4) .

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji (f(x) = cot(x) + x).

Pochodna funkcji wynosi⁚

f^{'} (x) = - c s c^{2} (x) + 1.

Funkcja jest rosnąca, gdy jej pochodna jest dodatnia, a malejąca, gdy pochodna jest ujemna. Rozwiązując nierówność (f'(x) > 0), otrzymujemy⁚

- c s c^{2} (x) + 1 > 0.

c s c^{2} (x) < 1.

s i n^{2} (x) > 1.

Nierówność ta nie ma rozwiązań, ponieważ kwadrat sinusa jest zawsze mniejszy lub równy 1. Zatem funkcja (f(x) = cot(x) + x) jest malejąca w każdym punkcie swojego dziedziny.

Oblicz pochodną drugiego rzędu funkcji (f(x) = cot(x^2)).

Pochodna pierwszego rzędu wynosi⁚

f^{'} (x) = - 2 x c s c^{2} (x^{2}) .

Pochodna drugiego rzędu wynosi⁚

f ” (x) = - 2 c s c^{2} (x^{2}) ⎯ 4 x^{2} c s c^{2} (x^{2}) c o t (x^{2}) .

Znajdź ekstrema lokalne funkcji (f(x) = cot(x) ⎯ sin(x)).