Permutaciones circulares: Definición, fórmula y ejemplos

Permutaciones circulares⁚ demostración, ejemplos, ejercicios resueltos

Permutaciones circulares to szczególny rodzaj permutacji, w którym kolejność elementów jest ważna, ale tylko w odniesieniu do ich położenia względem siebie w układzie kołowym, bez uwzględniania punktu odniesienia.

1. Introducción

W matematyce, permutacje odgrywają kluczową rolę w dziedzinie kombinatoryki, zajmującej się liczeniem i analizą sposobów aranżowania obiektów. Permutacją nazywamy każdą możliwą sekwencję elementów zbioru, przy czym kolejność elementów ma znaczenie. Istnieją dwa główne rodzaje permutacji⁚ permutacje liniowe i permutacje kołowe, zwane również permutacjami cyklicznymi. Permutacjami liniowymi zajmujemy się wtedy, gdy kolejność elementów jest ważna w sposób liniowy, np. przy ustawianiu osób w kolejce. Permutacjami kołowymi zajmujemy się natomiast wtedy, gdy kolejność elementów jest ważna w sposób cykliczny, np. przy ustawianiu osób wokół okrągłego stołu. W tym artykule skupimy się na permutacjach kołowych, które charakteryzują się specyficznymi cechami i wymagają zastosowania odmiennych metod liczenia w porównaniu do permutacji liniowych.

2. Definición de permutaciones circulares

Permutacja kołowa, zwana również permutacją cykliczną, to uporządkowanie elementów w układzie kołowym, gdzie kolejność elementów jest istotna, ale tylko w odniesieniu do ich względnego położenia na okręgu. W przeciwieństwie do permutacji liniowej, w permutacji kołowej nie ma punktu odniesienia, a każda rotacja układu jest uznawana za ten sam układ. Innymi słowy, dwie permutacje kołowe są identyczne, jeśli można je otrzymać od siebie poprzez obrót. Na przykład, jeśli mamy 4 osoby, które mają usiąść wokół okrągłego stołu, to permutacje (A, B, C, D), (B, C, D, A), (C, D, A, B) i (D, A, B, C) są uważane za identyczne, ponieważ każdą z nich można otrzymać z innej poprzez obrót o 90 stopni.

3. Distinción entre permutaciones circulares y lineales

Główna różnica między permutacjami kołowymi a permutacjami liniowymi polega na sposobie traktowania rotacji. W permutacji liniowej, każda rotacja układu tworzy nową, odrębną permutację. Na przykład, jeśli mamy 3 osoby, które mają stanąć w kolejce, to permutacje (A, B, C), (B, C, A) i (C, A, B) są różne, ponieważ każda z nich reprezentuje inną kolejność. W permutacji kołowej, każda rotacja układu jest uważana za tę samą permutację. W przypadku 3 osób siedzących wokół okrągłego stołu, permutacje (A, B, C), (B, C, A) i (C, A, B) są identyczne, ponieważ każdą z nich można otrzymać z innej poprzez obrót o 120 stopni.

4. Fórmula para calcular permutaciones circulares

Liczba permutacji kołowych (n) różnych elementów jest obliczana za pomocą następującego wzoru⁚ $$ P_c(n) = rac{(n-1)!}{1} = (n-1)! $$gdzie (n) jest liczbą elementów, a (!) oznacza silnię. Wzór ten wynika z faktu, że w permutacji kołowej, jeden z elementów może być ustalony jako punkt odniesienia, a pozostałe (n-1) elementów może być ustawionych na (n-1) różnych sposobów. Na przykład, jeśli mamy 4 osoby, które mają usiąść wokół okrągłego stołu, to liczba permutacji kołowych wynosi (P_c(4) = (4-1)! = 3! = 6). Oznacza to, że istnieje 6 różnych sposobów na ustawienie 4 osób wokół stołu, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji.

4.1. Demostración de la fórmula

Aby udowodnić wzór na liczbę permutacji kołowych, rozważmy układ (n) elementów, które chcemy ustawić w sposób kołowy. Ustalmy jeden z elementów jako punkt odniesienia. Pozostałe (n-1) elementów może być ustawionych na (n-1)! różnych sposobów. Jednakże, każda rotacja tego układu daje nam tę samą permutację kołową. Zatem, aby uniknąć wielokrotnego liczenia tych samych permutacji, musimy podzielić liczbę permutacji liniowych (n-1)! przez liczbę rotacji, które dają tę samą permutację kołową. Liczba rotacji dla układu (n) elementów wynosi (n), ponieważ możemy obrócić układ o 0, 1, 2, …, (n-1) pozycji. Dlatego liczba permutacji kołowych (n) elementów wynosi⁚ $$ P_c(n) = rac{(n-1)!}{n} = (n-1)! $$

5. Ejemplos de permutaciones circulares

Aby lepiej zrozumieć pojęcie permutacji kołowych, rozważmy następujące przykłady⁚ Przykład 1⁚ Załóżmy, że mamy 4 osoby, które mają usiąść wokół okrągłego stołu. Ile jest różnych sposobów na ustawienie tych osób? W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$ P_c(4) = (4-1)! = 3! = 6 $$ Oznacza to, że istnieje 6 różnych sposobów na ustawienie 4 osób wokół stołu, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji. Przykład 2⁚ Załóżmy, że mamy 5 kolorów i chcemy je ustawić w sposób kołowy na kole. Ile jest różnych sposobów na ustawienie tych kolorów? W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$ P_c(5) = (5-1)! = 4! = 24 $$ Oznacza to, że istnieje 24 różnych sposobów na ustawienie 5 kolorów na kole, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji.

5.1. Ejemplo 1⁚ Arreglos de personas alrededor de una mesa redonda

Załóżmy, że mamy 5 osób, które mają usiąść wokół okrągłego stołu. Ile jest różnych sposobów na ustawienie tych osób, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji? W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$ P_c(5) = (5-1)! = 4! = 24 $$ Oznacza to, że istnieje 24 różnych sposobów na ustawienie 5 osób wokół stołu. Aby lepiej zrozumieć ten wynik, możemy rozważyć konkretne przykłady. Załóżmy, że osoby nazywają się A, B, C, D i E. Oto kilka przykładów permutacji kołowych⁚

• (A, B, C, D, E)
• (B, C, D, E, A)
• (C, D, E, A, B)
• (D, E, A, B, C)
• (E, A, B, C, D)

Należy zauważyć, że każda z tych permutacji jest identyczna z innymi, ponieważ można je otrzymać od siebie poprzez obrót. Na przykład, permutacja (B, C, D, E, A) jest tą samą permutacją co (A, B, C, D, E), ponieważ można ją otrzymać poprzez obrót o jedną pozycję w prawo. W ten sposób, wzór na liczbę permutacji kołowych (n) elementów, który wynosi (P_c(n) = (n-1)!), pozwala nam szybko i łatwo obliczyć liczbę możliwych sposobów na ustawienie elementów w układzie kołowym, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji.

5.2; Ejemplo 2⁚ Arreglos de colores en una rueda de colores

Załóżmy, że mamy 6 różnych kolorów i chcemy je ustawić w sposób kołowy na kole. Ile jest różnych sposobów na ustawienie tych kolorów, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji? W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$ P_c(6) = (6-1)! = 5! = 120 $$ Oznacza to, że istnieje 120 różnych sposobów na ustawienie 6 kolorów na kole. Aby lepiej zrozumieć ten wynik, możemy rozważyć konkretne przykłady. Załóżmy, że kolory to czerwony, niebieski, zielony, żółty, pomarańczowy i fioletowy. Oto kilka przykładów permutacji kołowych⁚

• (czerwony, niebieski, zielony, żółty, pomarańczowy, fioletowy)
• (niebieski, zielony, żółty, pomarańczowy, fioletowy, czerwony)
• (zielony, żółty, pomarańczowy, fioletowy, czerwony, niebieski)

Należy zauważyć, że każda z tych permutacji jest identyczna z innymi, ponieważ można je otrzymać od siebie poprzez obrót. Na przykład, permutacja (niebieski, zielony, żółty, pomarańczowy, fioletowy, czerwony) jest tą samą permutacją co (czerwony, niebieski, zielony, żółty, pomarańczowy, fioletowy), ponieważ można ją otrzymać poprzez obrót o jedną pozycję w prawo. W ten sposób, wzór na liczbę permutacji kołowych (n) elementów, który wynosi (P_c(n) = (n-1)!), pozwala nam szybko i łatwo obliczyć liczbę możliwych sposobów na ustawienie elementów w układzie kołowym, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji.

6. Ejercicios resueltos

Aby utrwalić wiedzę na temat permutacji kołowych, rozważmy następujące zadania z rozwiązaniami⁚ Zadanie 1⁚ Ile jest różnych sposobów na ustawienie 7 kwiatów w wazonie w kształcie koła, jeśli kwiaty są różnych kolorów? Rozwiązanie⁚ W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$ P_c(7) = (7-1)! = 6! = 720 $$ Oznacza to, że istnieje 720 różnych sposobów na ustawienie 7 kwiatów w wazonie w kształcie koła. Zadanie 2⁚ Ile jest różnych sposobów na ustawienie 5 liter w naszyjniku, jeśli litery to A, B, C, D i E? Rozwiązanie⁚ W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$ P_c(5) = (5-1)! = 4! = 24 $$ Oznacza to, że istnieje 24 różnych sposobów na ustawienie 5 liter w naszyjniku. Należy zauważyć, że w tym przypadku, rotacja układu nie zmienia permutacji, ponieważ naszyjnik można obracać.

6.1. Ejercicio 1⁚ Arreglos de flores en un jarrón circular

Załóżmy, że mamy 8 różnych kwiatów i chcemy je ustawić w wazonie w kształcie koła. Ile jest różnych sposobów na ustawienie tych kwiatów, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji? W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$ P_c(8) = (8-1)! = 7! = 5040 $$ Oznacza to, że istnieje 5040 różnych sposobów na ustawienie 8 kwiatów w wazonie w kształcie koła. Aby lepiej zrozumieć ten wynik, możemy rozważyć konkretne przykłady; Załóżmy, że kwiaty to róża, lilia, tulipan, słonecznik, stokrotka, gerbera, goździk i fiołek. Oto kilka przykładów permutacji kołowych⁚

• (róża, lilia, tulipan, słonecznik, stokrotka, gerbera, goździk, fiołek)
• (lilia, tulipan, słonecznik, stokrotka, gerbera, goździk, fiołek, róża)
• (tulipan, słonecznik, stokrotka, gerbera, goździk, fiołek, róża, lilia)

Należy zauważyć, że każda z tych permutacji jest identyczna z innymi, ponieważ można je otrzymać od siebie poprzez obrót. Na przykład, permutacja (lilia, tulipan, słonecznik, stokrotka, gerbera, goździk, fiołek, róża) jest tą samą permutacją co (róża, lilia, tulipan, słonecznik, stokrotka, gerbera, goździk, fiołek), ponieważ można ją otrzymać poprzez obrót o jedną pozycję w prawo. W ten sposób, wzór na liczbę permutacji kołowych (n) elementów, który wynosi (P_c(n) = (n-1)!), pozwala nam szybko i łatwo obliczyć liczbę możliwych sposobów na ustawienie elementów w układzie kołowym, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji.

6.2. Ejercicio 2⁚ Arreglos de letras en un collar

Załóżmy, że mamy 4 różne litery i chcemy je ustawić w sposób kołowy na naszyjniku. Ile jest różnych sposobów na ustawienie tych liter, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji? W tym przypadku, liczba permutacji kołowych wynosi⁚ $$P_c(4) = (4-1)! = 3! = 6 $$ Oznacza to, że istnieje 6 różnych sposobów na ustawienie 4 liter na naszyjniku. Aby lepiej zrozumieć ten wynik, możemy rozważyć konkretne przykłady. Załóżmy, że litery to A, B, C i D. Oto kilka przykładów permutacji kołowych⁚

• (A, B, C, D)
• (B, C, D, A)
• (C, D, A, B)
• (D, A, B, C)

Należy zauważyć, że każda z tych permutacji jest identyczna z innymi, ponieważ można je otrzymać od siebie poprzez obrót. Na przykład, permutacja (B, C, D, A) jest tą samą permutacją co (A, B, C, D), ponieważ można ją otrzymać poprzez obrót o jedną pozycję w prawo. W ten sposób, wzór na liczbę permutacji kołowych (n) elementów, który wynosi (P_c(n) = (n-1)!), pozwala nam szybko i łatwo obliczyć liczbę możliwych sposobów na ustawienie elementów w układzie kołowym, biorąc pod uwagę, że rotacja układu nie zmienia permutacji.

7. Aplicaciones de permutaciones circulares

Permutaciones circulares encuentran aplicaciones en diversos campos, incluyendo⁚

• Química⁚ En la química, permutaciones circulares se utilizan para describir la disposición de átomos en moléculas cíclicas, como los anillos bencénicos. La comprensión de las permutaciones circulares en este contexto es crucial para entender las propiedades y reacciones químicas de estas moléculas.
• Criptografía⁚ Permutaciones circulares se utilizan en algoritmos criptográficos para cifrar y descifrar información. Algoritmos basados en permutaciones circulares son considerados seguros y difíciles de romper.
• Diseño⁚ Permutaciones circulares se utilizan en el diseño de objetos, como ruedas de colores, patrones repetitivos y mosaicos. La aplicación de permutaciones circulares en el diseño permite crear patrones visualmente atractivos y estéticamente agradables.
• Juegos⁚ Permutaciones circulares se utilizan en juegos de mesa y juegos de cartas, como el póquer. La comprensión de las permutaciones circulares puede ayudar a los jugadores a calcular las probabilidades de obtener diferentes manos y a tomar decisiones estratégicas durante el juego.
• Biología⁚ Permutaciones circulares se utilizan en la biología para estudiar la estructura y función de las proteínas. Las proteínas pueden adoptar diferentes formas, algunas de las cuales son cíclicas. La comprensión de las permutaciones circulares en este contexto es crucial para entender cómo funcionan las proteínas en el cuerpo.

8. Resumen

W tym artykule omówiono permutacje kołowe, które stanowią szczególny rodzaj permutacji, w którym kolejność elementów jest ważna tylko w odniesieniu do ich położenia względem siebie w układzie kołowym. W przeciwieństwie do permutacji liniowych, w permutacjach kołowych nie ma punktu odniesienia, a każda rotacja układu jest uznawana za ten sam układ. Podano wzór na liczbę permutacji kołowych (n) różnych elementów⁚ $$ P_c(n) = rac{(n-1)!}{1} = (n-1)! $$ Wzór ten został udowodniony poprzez rozważenie liczby permutacji liniowych i podzielenie jej przez liczbę rotacji, które dają tę samą permutację kołową. Omówiono również przykłady permutacji kołowych, takie jak ustawianie osób wokół okrągłego stołu czy kolorów na kole. Podano również zadania z rozwiązaniami, aby utrwalić wiedzę na temat permutacji kołowych. Na koniec przedstawiono zastosowania permutacji kołowych w różnych dziedzinach, takich jak chemia, kryptografia, projektowanie, gry i biologia.

9. Conclusión

Permutaciones circulares, jako szczególny rodzaj permutacji, stanowią ważny element kombinatoryki, znajdującej zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Zrozumienie pojęcia permutacji kołowych i umiejętność ich liczenia jest kluczowe dla rozwiązywania problemów związanych z aranżowaniem elementów w układzie kołowym, gdzie rotacja układu nie zmienia permutacji. W tym artykule przedstawiono definicję, wzór, demonstrację, przykłady i zadania z rozwiązaniami, które pozwalają na lepsze zrozumienie permutacji kołowych. Dodatkowo, omówiono zastosowania permutacji kołowych w różnych dziedzinach, co podkreśla ich znaczenie w kontekście praktycznym. Permutaciones circulares to fascynujące zagadnienie matematyczne, które otwiera drzwi do wielu interesujących zastosowań i pozwala na głębsze poznanie świata kombinatoryki.