Identidades trigonométricas (przykłady i ćwiczenia)

Identidades trigonométricas (przykłady i ćwiczenia)

W matematyce, identyczność trygonometryczna to równanie, które jest prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych, dla których obie strony równania są zdefiniowane.

Wprowadzenie

Trigonometria to dział matematyki zajmujący się związkami między kątami a bokami trójkątów. W kontekście trójkąta prostokątnego, funkcje trygonometryczne, takie jak sinus, cosinus i tangens, opisują stosunki między długościami boków. Jednakże funkcje trygonometryczne można również definiować dla dowolnych kątów, nie tylko dla kątów w trójkątach. Identidades trigonométricas są równaniami, które są prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych, dla których obie strony równania są zdefiniowane. Są one fundamentalne w trigonometrii, ponieważ pozwalają nam na upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych, rozwiązywanie równań trygonometrycznych i dowodzenie innych twierdzeń.

W tym artykule omówimy podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych, a następnie skupimy się na kluczowych tożsamościach trygonometrycznych, takich jak tożsamości pitagorejskie, tożsamości sumy i różnicy kątów, tożsamości kąta podwojonego, tożsamości kąta połówkowego, tożsamości iloczyn-suma i tożsamości suma-iloczyn. Pokażemy również, jak rozwiązywać równania trygonometryczne i jak dowodzić tożsamości trygonometryczne. Na koniec przedstawimy przykłady i ćwiczenia, które pomogą utrwalić poznaną wiedzę.

Podstawowe definicje

Zanim przejdziemy do tożsamości trygonometrycznych, musimy zdefiniować podstawowe funkcje trygonometryczne. Rozważmy trójkąt prostokątny, gdzie jeden z kątów jest kątem prostym (90 stopni). Oznaczmy kąty ostre tego trójkąta jako $A$ i $B$, a przeciwprostokątną jako $c$, a przyprostokątne jako $a$ i $b$, jak pokazano na rysunku poniżej.

Funkcje trygonometryczne są zdefiniowane jako stosunki między bokami tego trójkąta⁚

• Sinus (sin)⁚ $sin(A) = rac{a}{c}$ (stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta $A$ do długości przeciwprostokątnej)
• Cosinus (cos)⁚ $cos(A) = rac{b}{c}$ (stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $A$ do długości przeciwprostokątnej)
• Tangens (tan)⁚ $tan(A) = rac{a}{b}$ (stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta $A$ do długości przyprostokątnej przyległej do kąta $A$)
• Cotangens (cot)⁚ $cot(A) = rac{b}{a}$ (odwrotność tangensa)
• Secans (sec)⁚ $sec(A) = rac{c}{b}$ (odwrotność cosinusa)
• Cosecans (csc)⁚ $csc(A) = rac{c}{a}$ (odwrotność sinusa)

Funkcje trygonometryczne mogą być również definiowane dla kątów większych niż 90 stopni lub dla kątów ujemnych, korzystając z okręgu jednostkowego.

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne są podstawowymi narzędziami w trigonometrii. Są to funkcje, które wiążą kąty z bokami trójkątów. Istnieje sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych⁚ sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans i cosecans.

Sinus, cosinus i tangens są najczęściej używanymi funkcjami trygonometrycznymi. Są one zdefiniowane jako stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego.

• Sinus (sin)⁚ Sinus kąta jest zdefiniowany jako stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
• Cosinus (cos)⁚ Cosinus kąta jest zdefiniowany jako stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
• Tangens (tan)⁚ Tangens kąta jest zdefiniowany jako stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do tego kąta do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta.

Cotangens, secans i cosecans są odwrotnościami tangensa, cosinusa i sinusa odpowiednio.

Relacje między funkcjami

Istnieją pewne ważne relacje między funkcjami trygonometrycznymi, które wynikają z ich definicji. Te relacje są często używane do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych i rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Pierwsza ważna relacja to wzajemne odwrotności funkcji trygonometrycznych⁚

• $cot(x) = rac{1}{tan(x)}$
• $sec(x) = rac{1}{cos(x)}$
• $csc(x) = rac{1}{sin(x)}$

Druga ważna relacja to tożsamości pitagorejskie, które wiążą sinus i cosinus⁚

• $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$
• $tan^2(x) + 1 = sec^2(x)$
• $cot^2(x) + 1 = csc^2(x)$

Te relacje są fundamentalne w trigonometrii i będą używane w wielu innych tożsamościach i twierdzeniach.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne to równania, które są prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych, dla których obie strony równania są zdefiniowane. Są one niezwykle ważne w trigonometrii, ponieważ pozwalają nam na upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych, rozwiązywanie równań trygonometrycznych i dowodzenie innych twierdzeń.

Istnieje wiele różnych typów tożsamości trygonometrycznych. Najważniejsze z nich to⁚

• Tożsamości pitagorejskie⁚ Te tożsamości wiążą ze sobą kwadraty funkcji sinus, cosinus i tangens.
• Tożsamości sumy i różnicy kątów⁚ Te tożsamości pozwalają na wyrażenie funkcji trygonometrycznych sumy lub różnicy dwóch kątów w postaci funkcji trygonometrycznych tych kątów.
• Tożsamości kąta podwojonego⁚ Te tożsamości pozwalają na wyrażenie funkcji trygonometrycznych podwojonego kąta w postaci funkcji trygonometrycznych tego kąta.
• Tożsamości kąta połówkowego⁚ Te tożsamości pozwalają na wyrażenie funkcji trygonometrycznych połowy kąta w postaci funkcji trygonometrycznych tego kąta.
• Tożsamości iloczyn-suma⁚ Te tożsamości pozwalają na wyrażenie iloczynu dwóch funkcji trygonometrycznych w postaci sumy lub różnicy funkcji trygonometrycznych.
• Tożsamości suma-iloczyn⁚ Te tożsamości pozwalają na wyrażenie sumy lub różnicy dwóch funkcji trygonometrycznych w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych.

W kolejnych sekcjach omówimy szczegółowo każdy z tych typów tożsamości.

Tożsamości pitagorejskie

Tożsamości pitagorejskie są podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi, które wynikają z twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Zastosujmy to twierdzenie do trójkąta prostokątnego, gdzie jeden z kątów jest kątem prostym (90 stopni). Oznaczmy kąty ostre tego trójkąta jako $A$ i $B$, a przeciwprostokątną jako $c$, a przyprostokątne jako $a$ i $b$. Wtedy twierdzenie Pitagorasa można zapisać jako⁚

$a^2 + b^2 = c^2$

Dzieląc obie strony tego równania przez $c^2$, otrzymujemy⁚

$(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1$

Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że $sin(A) = a/c$ i $cos(A) = b/c$. Podstawiając te wartości do powyższego równania, otrzymujemy⁚

$sin^2(A) + cos^2(A) = 1$

To jest pierwsza tożsamość pitagorejska.

Dzieląc obie strony równania $a^2 + b^2 = c^2$ przez $b^2$ i $a^2$, otrzymamy odpowiednio dwie pozostałe tożsamości pitagorejskie⁚

$tan^2(A) + 1 = sec^2(A)$

$cot^2(A) + 1 = csc^2(A)$

Tożsamości sumy i różnicy kątów

Tożsamości sumy i różnicy kątów pozwalają na wyrażenie funkcji trygonometrycznych sumy lub różnicy dwóch kątów w postaci funkcji trygonometrycznych tych kątów.

Oto najważniejsze tożsamości sumy i różnicy kątów⁚

• $sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)$
• $sin(A ‒ B) = sin(A)cos(B) ⸺ cos(A)sin(B)$
• $cos(A + B) = cos(A)cos(B) ⸺ sin(A)sin(B)$
• $cos(A ⸺ B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)$
• $tan(A + B) = rac{tan(A) + tan(B)}{1 ⸺ tan(A)tan(B)}$
• $tan(A ⸺ B) = rac{tan(A) ‒ tan(B)}{1 + tan(A)tan(B)}$

Te tożsamości są bardzo przydatne, ponieważ pozwalają na upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych zawierających sumy lub różnice kątów. Na przykład, jeśli mamy wyrażenie $sin(30^ rc + 45^ rc)$, możemy użyć tożsamości $sin(A + B)$ aby zapisać to wyrażenie jako $sin(30^ rc)cos(45^ rc) + cos(30^ rc)sin(45^ rc)$.

Tożsamości sumy i różnicy kątów są również używane do wyprowadzenia innych tożsamości trygonometrycznych, takich jak tożsamości kąta podwojonego i kąta połówkowego.

Tożsamości kąta podwojonego

Tożsamości kąta podwojonego pozwalają na wyrażenie funkcji trygonometrycznych podwojonego kąta w postaci funkcji trygonometrycznych tego kąta. Są one wyprowadzone z tożsamości sumy kątów.

Oto najważniejsze tożsamości kąta podwojonego⁚

• $sin(2A) = 2sin(A)cos(A)$
• $cos(2A) = cos^2(A) ⸺ sin^2(A) = 2cos^2(A) ‒ 1 = 1 ‒ 2sin^2(A)$
• $tan(2A) = rac{2tan(A)}{1 ⸺ tan^2(A)}$

Tożsamości kąta podwojonego są bardzo przydatne w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych i dowodzeniu innych tożsamości; Na przykład, jeśli mamy wyrażenie $cos(60^ rc)$, możemy użyć tożsamości $cos(2A)$ aby zapisać to wyrażenie jako $cos^2(30^ rc) ‒ sin^2(30^ rc)$.

Tożsamości kąta podwojonego są również używane do wyprowadzenia innych tożsamości trygonometrycznych, takich jak tożsamości kąta połówkowego.

Tożsamości kąta połówkowego

Tożsamości kąta połówkowego pozwalają na wyrażenie funkcji trygonometrycznych połowy kąta w postaci funkcji trygonometrycznych tego kąta. Są one wyprowadzone z tożsamości kąta podwojonego.

Oto najważniejsze tożsamości kąta połówkowego⁚

• $sin(A/2) = ±√{rac{1 ‒ cos(A)}{2}}$
• $cos(A/2) = ±√{rac{1 + cos(A)}{2}}$
• $tan(A/2) = ±√{rac{1 ⸺ cos(A)}{1 + cos(A)}} = rac{sin(A)}{1 + cos(A)} = rac{1 ‒ cos(A)}{sin(A)}$

Znak “+” lub “-” w tożsamościach sinusa i cosinusa zależy od ćwiartki, w której znajduje się kąt $A/2$.

Tożsamości kąta połówkowego są bardzo przydatne w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych i dowodzeniu innych tożsamości. Na przykład, jeśli mamy wyrażenie $sin(15^ rc)$, możemy użyć tożsamości $sin(A/2)$ aby zapisać to wyrażenie jako $±√{rac{1 ⸺ cos(30^ rc)}{2}}$.

Tożsamości kąta połówkowego są również używane do wyprowadzenia innych tożsamości trygonometrycznych, takich jak tożsamości iloczyn-suma.

Tożsamości iloczyn-suma

Tożsamości iloczyn-suma pozwalają na wyrażenie iloczynu dwóch funkcji trygonometrycznych w postaci sumy lub różnicy funkcji trygonometrycznych. Są one wyprowadzone z tożsamości sumy i różnicy kątów.

Oto najważniejsze tożsamości iloczyn-suma⁚

• $sin(A)cos(B) = rac{1}{2}[sin(A + B) + sin(A ‒ B)]$
• $cos(A)sin(B) = rac{1}{2}[sin(A + B) ⸺ sin(A ‒ B)]$
• $cos(A)cos(B) = rac{1}{2}[cos(A + B) + cos(A ‒ B)]$
• $sin(A)sin(B) = rac{1}{2}[cos(A ⸺ B) ⸺ cos(A + B)]$

Tożsamości iloczyn-suma są bardzo przydatne w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych i dowodzeniu innych tożsamości. Na przykład, jeśli mamy wyrażenie $sin(30^ rc)cos(45^ rc)$, możemy użyć tożsamości $sin(A)cos(B)$ aby zapisać to wyrażenie jako $rac{1}{2}[sin(75^ rc) + sin(-15^ rc)]$.

Tożsamości iloczyn-suma są również używane do wyprowadzenia innych tożsamości trygonometrycznych, takich jak tożsamości suma-iloczyn.

Tożsamości suma-iloczyn

Tożsamości suma-iloczyn pozwalają na wyrażenie sumy lub różnicy dwóch funkcji trygonometrycznych w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych. Są one wyprowadzone z tożsamości iloczyn-suma.

Oto najważniejsze tożsamości suma-iloczyn⁚

• $sin(A) + sin(B) = 2sin(rac{A + B}{2})cos(rac{A ⸺ B}{2})$
• $sin(A) ⸺ sin(B) = 2cos(rac{A + B}{2})sin(rac{A ‒ B}{2})$
• $cos(A) + cos(B) = 2cos(rac{A + B}{2})cos(rac{A ‒ B}{2})$
• $cos(A) ‒ cos(B) = -2sin(rac{A + B}{2})sin(rac{A ⸺ B}{2})$

Tożsamości suma-iloczyn są bardzo przydatne w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych i dowodzeniu innych tożsamości. Na przykład, jeśli mamy wyrażenie $sin(75^ rc) + sin(15^ rc)$, możemy użyć tożsamości $sin(A) + sin(B)$ aby zapisać to wyrażenie jako $2sin(45^ rc)cos(30^ rc)$.

Tożsamości suma-iloczyn są również używane do wyprowadzenia innych tożsamości trygonometrycznych, takich jak tożsamości iloczyn-suma.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Równanie trygonometryczne to równanie, które zawiera funkcje trygonometryczne. Rozwiązanie równania trygonometrycznego oznacza znalezienie wszystkich wartości zmiennej, dla których równanie jest prawdziwe.

Istnieje wiele różnych metod rozwiązywania równań trygonometrycznych. Najczęstsze metody to⁚

• Użycie tożsamości trygonometrycznych⁚ Tożsamości trygonometryczne mogą być użyte do uproszczenia równania trygonometrycznego i sprowadzenia go do postaci, którą można łatwo rozwiązać.
• Rozwiązanie równania dla funkcji trygonometrycznej⁚ Możemy rozwiązać równanie trygonometryczne dla funkcji trygonometrycznej, a następnie znaleźć wartości kąta, dla których ta funkcja przyjmuje te wartości.
• Użycie wzorów sumy i różnicy kątów⁚ Wzoru sumy i różnicy kątów można użyć do wyrażenia funkcji trygonometrycznych sumy lub różnicy dwóch kątów w postaci funkcji trygonometrycznych tych kątów.
• Użycie wzorów kąta podwojonego i kąta połówkowego⁚ Wzorów kąta podwojonego i kąta połówkowego można użyć do wyrażenia funkcji trygonometrycznych podwojonego lub połówkowego kąta w postaci funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Ważne jest, aby pamiętać, że równania trygonometryczne mogą mieć nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe.

Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych

Dowodzenie tożsamości trygonometrycznej oznacza pokazanie, że równanie jest prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych, dla których obie strony równania są zdefiniowane.

Istnieje wiele różnych metod dowodzenia tożsamości trygonometrycznych. Najczęstsze metody to⁚

• Użycie tożsamości trygonometrycznych⁚ Możemy użyć znanych tożsamości trygonometrycznych, aby upraszczać wyrażenia po obu stronach równania, aż do uzyskania identycznych wyrażeń.
• Przekształcenie jednej strony równania⁚ Możemy przekształcać jedną stronę równania, używając tożsamości trygonometrycznych, aż do uzyskania wyrażenia identycznego z drugą stroną równania.
• Przekształcenie obu stron równania⁚ Możemy przekształcać obie strony równania, używając tożsamości trygonometrycznych, aż do uzyskania identycznych wyrażeń.

Ważne jest, aby pamiętać, że dowodzenie tożsamości trygonometrycznej nie polega na wstawianiu konkretnych wartości zmiennych i sprawdzaniu, czy równanie jest prawdziwe. Musimy pokazać, że równanie jest prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych, dla których obie strony równania są zdefiniowane.

Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych jest ważnym ćwiczeniem, które pomaga nam lepiej zrozumieć relacje między funkcjami trygonometrycznymi.

Przykłady

Oto kilka przykładów zastosowania tożsamości trygonometrycznych⁚

1. Uprość wyrażenie $sin^2(x) + cos^2(x) + tan^2(x)$

   Używając tożsamości pitagorejskiej $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ i tożsamości $tan^2(x) + 1 = sec^2(x)$, możemy przekształcić wyrażenie⁚

   $sin^2(x) + cos^2(x) + tan^2(x) = 1 + tan^2(x) = sec^2(x)$

2. Rozwiąż równanie $sin(2x) = cos(x)$

   Używając tożsamości kąta podwojonego $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, możemy przekształcić równanie⁚

   $2sin(x)cos(x) = cos(x)$

   $2sin(x)cos(x) ⸺ cos(x) = 0$

   $cos(x)(2sin(x) ⸺ 1) = 0$

   Zatem $cos(x) = 0$ lub $sin(x) = 1/2$. Rozwiązaniami równania są $x = π/2 + kπ$ i $x = π/6 + 2kπ$ lub $x = 5π/6 + 2kπ$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

3. Dowiedź tożsamości $tan(A + B) = rac{tan(A) + tan(B)}{1 ⸺ tan(A)tan(B)}$

   Używając tożsamości sumy kątów dla tangensa, możemy przekształcić lewą stronę równania⁚

   $tan(A + B) = rac{sin(A + B)}{cos(A + B)} = rac{sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)}{cos(A)cos(B) ⸺ sin(A)sin(B)}$

   Dzieląc licznik i mianownik przez $cos(A)cos(B)$, otrzymujemy⁚

   $tan(A + B) = rac{rac{sin(A)cos(B)}{cos(A)cos(B)} + rac{cos(A)sin(B)}{cos(A)cos(B)}}{rac{cos(A)cos(B)}{cos(A)cos(B)} ⸺ rac{sin(A)sin(B)}{cos(A)cos(B)}} = rac{tan(A) + tan(B)}{1 ⸺ tan(A)tan(B)}$

   Zatem tożsamość jest prawdziwa.

Ćwiczenia

Oto kilka ćwiczeń, które pomogą utrwalić poznane tożsamości trygonometryczne⁚

1. Uprość następujące wyrażenia⁚
   • $sin^2(x) + cos^2(x) + tan^2(x)$
   • $sec^2(x) ⸺ tan^2(x)$
   • $rac{1 + cos(2x)}{sin(2x)}$
   • $sin(x)cos(x)tan(x)$
2. Rozwiąż następujące równania⁚
   • $sin(x) = cos(x)$
   • $tan(x) = 1$
   • $cos(2x) = 1/2$
   • $sin^2(x) ‒ cos^2(x) = 0$
3. Dowiedź następujące tożsamości⁚
   • $sin(A + B) + sin(A ‒ B) = 2sin(A)cos(B)$
   • $cos(A + B) + cos(A ‒ B) = 2cos(A)cos(B)$
   • $tan(A) + tan(B) = rac{sin(A + B)}{cos(A)cos(B)}$
   • $rac{1 + tan(x)}{1 ⸺ tan(x)} = rac{cos(x) + sin(x)}{cos(x) ‒ sin(x)}$

Rozwiązania do tych ćwiczeń można znaleźć w podręcznikach lub online.

Podsumowanie

W tym artykule omówiliśmy podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych oraz kluczowe tożsamości trygonometryczne, takie jak tożsamości pitagorejskie, tożsamości sumy i różnicy kątów, tożsamości kąta podwojonego, tożsamości kąta połówkowego, tożsamości iloczyn-suma i tożsamości suma-iloczyn.

Nauczyliśmy się również, jak rozwiązywać równania trygonometryczne i jak dowodzić tożsamości trygonometryczne. Tożsamości trygonometryczne są niezwykle ważne w trigonometrii, ponieważ pozwalają nam na upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych, rozwiązywanie równań trygonometrycznych i dowodzenie innych twierdzeń.

Wiedza o tożsamościach trygonometrycznych jest niezbędna do zrozumienia bardziej zaawansowanych zagadnień w trigonometrii, takich jak trygonometria sferyczna, analiza harmoniczna i teoria sygnałów.

Zachęcamy do dalszego zgłębiania wiedzy o tożsamościach trygonometrycznych i do ćwiczenia ich zastosowania w różnych zadaniach.