Wprowadzenie do geometrii

Wprowadzenie do geometrii

Geometria jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem kształtów‚ rozmiarów i wzajemnych relacji między obiektami w przestrzeni.

Podstawowymi pojęciami w geometrii są⁚ punkt‚ prosta‚ płaszczyzna i przestrzeń.

Punkt jest obiektem geometrycznym bez wymiaru‚ oznaczanym zazwyczaj literą. Prosta jest zbiorem nieskończenie wielu punktów leżących na jednej linii. Płaszczyzna jest dwuwymiarową powierzchnią‚ która rozciąga się w nieskończoność. Przestrzeń jest trójwymiarową przestrzenią‚ w której znajdują się wszystkie obiekty geometryczne.

Geometria euklidesowa jest gałęzią geometrii opierającą się na aksjomatach Euklidesa‚ które opisują podstawowe własności punktów‚ prostych i płaszczyzn.

Geometria euklidesowa jest podstawą dla wielu innych dziedzin matematyki‚ takich jak trygonometria‚ geometria analityczna i geometria różniczkowa.

Podstawowe pojęcia

W geometrii‚ podstawowymi pojęciami są kąty i trójkąty. Kąt to figura geometryczna utworzona przez dwie półproste o wspólnym początku‚ zwanym wierzchołkiem kąta. Półproste te nazywane są ramionami kąta. Kąt jest miarą obrotu jednego ramienia względem drugiego. Miara kąta wyrażana jest w stopniach (°)‚ gdzie pełny obrót wynosi 360°.

Trójkąt to figura geometryczna złożona z trzech odcinków (boki trójkąta) i trzech punktów (wierzchołki trójkąta)‚ które nie leżą na jednej prostej. Trójkąt jest figurą zamkniętą‚ a suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi zawsze 180°.

Kąty i trójkąty są podstawowymi elementami geometrii‚ które wykorzystywane są do opisu i analizy innych figur geometrycznych. Znajomość ich własności i relacji między nimi jest kluczowa dla zrozumienia wielu zagadnień geometrycznych‚ takich jak twierdzenie Pitagorasa czy trygonometria.

Geometria euklidesowa

Geometria euklidesowa jest gałęzią geometrii opierającą się na aksjomatach Euklidesa‚ które opisują podstawowe własności punktów‚ prostych i płaszczyzn. Aksjomaty Euklidesa stanowią fundament geometrii euklidesowej i są niezależne od siebie‚ co oznacza‚ że żadnego z nich nie można wyprowadzić z pozostałych.

Jednym z najważniejszych aksjomatów Euklidesa jest aksjomat równoległości‚ który głosi‚ że przez dowolny punkt poza daną prostą przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej. Ten aksjomat jest kluczowy dla geometrii euklidesowej i odróżnia ją od innych geometrii‚ np. geometrii nieeuklidesowej.

Geometria euklidesowa jest podstawą dla wielu innych dziedzin matematyki‚ takich jak trygonometria‚ geometria analityczna i geometria różniczkowa. W geometrii euklidesowej możemy badać własności figur geometrycznych‚ takich jak kąty‚ trójkąty‚ czworokąty‚ okręgi i wiele innych.

Kąty

Kąt jest figurą geometryczną utworzoną przez dwie półproste o wspólnym początku‚ zwanym wierzchołkiem kąta. Półproste te nazywane są ramionami kąta.

Kąty można klasyfikować ze względu na ich miarę.

Kąt prosty

Kąt prosty ma miarę 90°.

Kąt ostry

Kąt ostry ma miarę mniejszą niż 90°.

Kąt rozwarty

Kąt rozwarty ma miarę większą niż 90° i mniejszą niż 180°.

Kąt pełny

Kąt pełny ma miarę 360°.

Definicja kąta

Kąt jest figurą geometryczną utworzoną przez dwie półproste o wspólnym początku‚ zwanym wierzchołkiem kąta. Półproste te nazywane są ramionami kąta. Kąt jest miarą obrotu jednego ramienia względem drugiego. Miara kąta wyrażana jest w stopniach (°)‚ gdzie pełny obrót wynosi 360°.

Kąty można przedstawiać graficznie za pomocą symboli. Wierzchołek kąta oznaczany jest zazwyczaj literą‚ a ramiona kąta oznaczane są literami lub strzałkami. Na przykład‚ kąt o wierzchołku A i ramionach AB i AC oznaczany jest symbolem ∠BAC.

Kąt może być dodatni lub ujemny‚ w zależności od kierunku obrotu ramienia. Obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara są uważane za dodatnie‚ a obroty w kierunku ruchu wskazówek zegara są uważane za ujemne.

Rodzaje kątów

Kąty można klasyfikować ze względu na ich miarę. Najważniejsze rodzaje kątów to⁚

• Kąt prosty⁚ Kąt prosty ma miarę 90°. Oznaczany jest symbolem '∟'. Kąt prosty jest często spotykany w geometrii‚ np. w kwadratach‚ prostokątach i innych figurach geometrycznych.
• Kąt ostry⁚ Kąt ostry ma miarę mniejszą niż 90°. Kąty ostre są często spotykane w trójkątach i innych figurach geometrycznych.
• Kąt rozwarty⁚ Kąt rozwarty ma miarę większą niż 90° i mniejszą niż 180°. Kąty rozwarte są często spotykane w trójkątach i innych figurach geometrycznych.
• Kąt pełny⁚ Kąt pełny ma miarę 360°. Kąt pełny jest często spotykany w geometrii‚ np. w okręgach i innych figurach geometrycznych.

Oprócz tych podstawowych rodzajów kątów‚ istnieją również inne rodzaje kątów‚ takie jak kąty dopełniające‚ kąty przyległe‚ kąty wierzchołkowe i kąty odpowiadające.

Kąt prosty

Kąt prosty jest jednym z podstawowych rodzajów kątów w geometrii. Ma miarę 90° i jest oznaczany symbolem '∟'. Kąt prosty jest często spotykany w geometrii‚ np. w kwadratach‚ prostokątach i innych figurach geometrycznych.

W kwadracie wszystkie cztery kąty wewnętrzne są kątami prostymi. W prostokącie również wszystkie cztery kąty wewnętrzne są kątami prostymi. Kąty proste są również obecne w trójkątach prostokątnych‚ gdzie jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym‚ a pozostałe dwa kąty są kątami ostrymi.

Kąt prosty ma wiele zastosowań w geometrii i innych dziedzinach matematyki. Jest wykorzystywany do definiowania innych figur geometrycznych‚ takich jak kwadraty‚ prostokąty‚ trójkąty prostokątne. Jest również wykorzystywany w trygonometrii‚ gdzie jest kluczowym elementem w obliczaniu funkcji trygonometrycznych.

Kąt ostry

Kąt ostry to kąt‚ którego miara jest mniejsza niż 90°. Jest to jeden z podstawowych rodzajów kątów w geometrii i często występuje w różnych figurach geometrycznych‚ w tym trójkątach i innych wielokątach. Kąty ostre charakteryzują się tym‚ że ich ramiona są bliżej siebie niż w przypadku kąta prostego.

W trójkątach‚ kąty ostre są kluczowe dla określenia rodzaju trójkąta. Trójkąt‚ w którym wszystkie trzy kąty wewnętrzne są kątami ostrymi‚ nazywany jest trójkątem ostrokątnym. W trójkątach prostokątnych‚ dwa kąty wewnętrzne są kątami ostrymi‚ a jeden kąt jest kątem prostym.

Kąty ostre mają szerokie zastosowanie w geometrii i innych dziedzinach matematyki. Są wykorzystywane do definiowania różnych figur geometrycznych‚ w tym trójkątów‚ czworokątów i innych wielokątów. Są również kluczowe w trygonometrii‚ gdzie są wykorzystywane do obliczania funkcji trygonometrycznych.

Kąt rozwarty

Kąt rozwarty to kąt‚ którego miara jest większa niż 90° i mniejsza niż 180°. Jest to jeden z podstawowych rodzajów kątów w geometrii i często występuje w różnych figurach geometrycznych‚ w tym trójkątach i innych wielokątach. Kąty rozwarte charakteryzują się tym‚ że ich ramiona są bardziej rozwarte niż w przypadku kąta prostego.

W trójkątach‚ kąty rozwarte są kluczowe dla określenia rodzaju trójkąta. Trójkąt‚ w którym jeden z kątów wewnętrznych jest kątem rozwartym‚ nazywany jest trójkątem rozwartokątnym. W trójkątach rozwartokątnych‚ dwa pozostałe kąty wewnętrzne są kątami ostrymi.

Kąty rozwarte mają szerokie zastosowanie w geometrii i innych dziedzinach matematyki. Są wykorzystywane do definiowania różnych figur geometrycznych‚ w tym trójkątów‚ czworokątów i innych wielokątów. Są również kluczowe w trygonometrii‚ gdzie są wykorzystywane do obliczania funkcji trygonometrycznych.

Kąt pełny

Kąt pełny to kąt‚ którego miara wynosi 360°. Jest to kąt‚ który tworzy pełny obrót wokół punktu‚ zwanego wierzchołkiem kąta. Kąt pełny można sobie wyobrazić jako obrót wskazówki zegara o 360°‚ po czym wskazówka powraca do swojego pierwotnego położenia.

Kąt pełny jest często spotykany w geometrii‚ np. w okręgach i innych figurach geometrycznych. W okręgu‚ kąt pełny jest równy kątowi środkowemu‚ który jest kątem utworzonym przez dwa promienie okręgu. Kąt pełny jest również wykorzystywany w trygonometrii‚ gdzie jest kluczowym elementem w obliczaniu funkcji trygonometrycznych.

Kąt pełny jest użyteczny w wielu dziedzinach‚ np. w nawigacji‚ gdzie jest wykorzystywany do określania kierunku i pozycji. Jest również wykorzystywany w mechanice‚ gdzie jest używany do opisu ruchu obrotowego.

Trójkąty

Trójkąt jest figurą geometryczną złożoną z trzech odcinków (boki trójkąta) i trzech punktów (wierzchołki trójkąta)‚ które nie leżą na jednej prostej.

Bo

Boki trójkąta to odcinki łączące jego wierzchołki.

Wierzchołki

Wierzchołki trójkąta to punkty‚ w których spotykają się jego boki;

Kąty

Kąty trójkąta to kąty utworzone przez jego boki.

Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości.

Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny ma dwa boki równej długości.

Trójkąt różnoboczny

Trójkąt różnoboczny ma wszystkie boki różnej długości.

Twierdzenie Pitagorasa mówi‚ że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych.

Trygonometria jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem związków między kątami a bokami trójkątów.

Definicja trójkąta

Trójkąt jest figurą geometryczną złożoną z trzech odcinków (boki trójkąta) i trzech punktów (wierzchołki trójkąta)‚ które nie leżą na jednej prostej. Trójkąt jest figurą zamkniętą‚ a suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi zawsze 180°.

Trójkąty są podstawowymi elementami geometrii i mają wiele zastosowań w matematyce‚ fizyce‚ inżynierii i innych dziedzinach. Są wykorzystywane do tworzenia bardziej złożonych figur geometrycznych‚ takich jak czworokąty‚ sześciokąty i inne wielokąty.

Trójkąty są również wykorzystywane w trygonometrii‚ gdzie są kluczowym elementem w obliczaniu funkcji trygonometrycznych. Znajomość własności trójkątów jest niezbędna do zrozumienia wielu zagadnień geometrycznych‚ takich jak twierdzenie Pitagorasa‚ twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.

Elementy trójkąta

Trójkąt składa się z kilku kluczowych elementów‚ które definiują jego kształt i rozmiar. Te elementy to⁚

• Boki⁚ Boki trójkąta to odcinki łączące jego wierzchołki. Każdy trójkąt ma trzy boki‚ które można oznaczyć literami‚ np. a‚ b‚ c. Długość boków trójkąta może być różna‚ co wpływa na jego kształt i rodzaj.
• Wierzchołki⁚ Wierzchołki trójkąta to punkty‚ w których spotykają się jego boki. Każdy trójkąt ma trzy wierzchołki‚ które można oznaczyć literami‚ np. A‚ B‚ C. Wierzchołki trójkąta są kluczowe dla określenia jego położenia w przestrzeni.
• Kąty⁚ Kąty trójkąta to kąty utworzone przez jego boki. Każdy trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne‚ które można oznaczyć literami greckiego alfabetu‚ np. α‚ β‚ γ. Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi zawsze 180°.

Znajomość elementów trójkąta jest kluczowa dla zrozumienia jego własności i relacji między nimi. Pozwala to na analizę trójkątów‚ rozwiązywanie problemów geometrycznych i stosowanie twierdzeń‚ takich jak twierdzenie Pitagorasa czy twierdzenie sinusów.

Bo

Boki trójkąta to odcinki łączące jego wierzchołki. Każdy trójkąt ma trzy boki‚ które można oznaczyć literami‚ np. a‚ b‚ c. Długość boków trójkąta może być różna‚ co wpływa na jego kształt i rodzaj.

W zależności od długości boków trójkąt można zaklasyfikować do jednego z trzech rodzajów⁚

• Trójkąt równoboczny⁚ wszystkie trzy boki mają jednakową długość.
• Trójkąt równoramienny⁚ dwa boki mają jednakową długość‚ a trzeci bok jest różny.
• Trójkąt różnoboczny⁚ wszystkie trzy boki mają różną długość.

Długość boków trójkąta jest kluczowa dla określenia jego obwodu i pola powierzchni. Obwód trójkąta jest sumą długości jego boków‚ a pole powierzchni można obliczyć za pomocą różnych wzorów‚ w zależności od rodzaju trójkąta.

Wierzchołki

Wierzchołki trójkąta to punkty‚ w których spotykają się jego boki. Każdy trójkąt ma trzy wierzchołki‚ które można oznaczyć literami‚ np. A‚ B‚ C. Wierzchołki trójkąta są kluczowe dla określenia jego położenia w przestrzeni.

Wierzchołki trójkąta są również punktem odniesienia dla kątów wewnętrznych trójkąta. Każdy kąt wewnętrzny trójkąta jest utworzony przez dwa boki trójkąta‚ które spotykają się w jednym z jego wierzchołków. Wierzchołki trójkąta są również wykorzystywane do określenia środka ciężkości trójkąta‚ który jest punktem przecięcia się jego środkowych.

Wierzchołki trójkąta są ważnymi punktami odniesienia w geometrii i są wykorzystywane do definiowania i analizy różnych własności trójkątów. Są również kluczowe w trygonometrii‚ gdzie są wykorzystywane do obliczania funkcji trygonometrycznych.

Kąty

Kąty trójkąta to kąty utworzone przez jego boki. Każdy trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne‚ które można oznaczyć literami greckiego alfabetu‚ np. α‚ β‚ γ. Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi zawsze 180°.

Kąty trójkąta są kluczowe dla określenia jego rodzaju. W zależności od miar kątów wewnętrznych trójkąt można zaklasyfikować do jednego z trzech rodzajów⁚

• Trójkąt ostrokątny⁚ wszystkie trzy kąty wewnętrzne są kątami ostrymi (mniejszymi niż 90°).
• Trójkąt prostokątny⁚ jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym (90°)‚ a pozostałe dwa są kątami ostrymi.
• Trójkąt rozwartokątny⁚ jeden z kątów wewnętrznych jest kątem rozwartym (większym niż 90°)‚ a pozostałe dwa są kątami ostrymi.

Kąty trójkąta są również wykorzystywane do obliczania jego pola powierzchni i do stosowania twierdzeń‚ takich jak twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.

Rodzaje trójkątów

Trójkąty można klasyfikować na różne sposoby‚ w zależności od długości ich boków i miar kątów wewnętrznych. Najważniejsze rodzaje trójkątów to⁚

• Trójkąt równoboczny⁚ wszystkie trzy boki mają jednakową długość. Trójkąt równoboczny jest również trójkątem ostrokątnym‚ ponieważ wszystkie jego kąty wewnętrzne mają miarę 60°.
• Trójkąt równoramienny⁚ dwa boki mają jednakową długość‚ a trzeci bok jest różny. Trójkąt równoramienny może być trójkątem ostrokątnym‚ prostokątnym lub rozwartokątnym‚ w zależności od miary jego kątów wewnętrznych.
• Trójkąt różnoboczny⁚ wszystkie trzy boki mają różną długość. Trójkąt różnoboczny może być trójkątem ostrokątnym‚ prostokątnym lub rozwartokątnym‚ w zależności od miary jego kątów wewnętrznych.
• Trójkąt prostokątny⁚ jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym (90°)‚ a pozostałe dwa są kątami ostrymi. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest bokiem naprzeciwko kąta prostego.
• Trójkąt ostrokątny⁚ wszystkie trzy kąty wewnętrzne są kątami ostrymi (mniejszymi niż 90°).
• Trójkąt rozwartokątny⁚ jeden z kątów wewnętrznych jest kątem rozwartym (większym niż 90°)‚ a pozostałe dwa są kątami ostrymi.

Znajomość rodzajów trójkątów jest kluczowa dla zrozumienia ich własności i relacji między nimi. Pozwala to na analizę trójkątów‚ rozwiązywanie problemów geometrycznych i stosowanie twierdzeń‚ takich jak twierdzenie Pitagorasa czy twierdzenie sinusów.

Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny to szczególny rodzaj trójkąta‚ w którym wszystkie trzy boki mają jednakową długość. Jest to również trójkąt ostrokątny‚ ponieważ wszystkie jego kąty wewnętrzne mają miarę 60°. Trójkąt równoboczny jest figurą symetryczną‚ co oznacza‚ że można go podzielić na dwie identyczne części linią symetrii.

Trójkąt równoboczny ma wiele interesujących własności. Na przykład‚ jego środkowa‚ wysokość i dwusieczna kąta są identyczne i przecinają się w jednym punkcie‚ który jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie i środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

Trójkąty równoboczne są często spotykane w geometrii i mają wiele zastosowań w różnych dziedzinach‚ np. w architekturze‚ sztuce i inżynierii. Są również wykorzystywane w konstrukcji różnych obiektów‚ takich jak kratownice i mosty.

Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny to trójkąt‚ w którym dwa boki mają jednakową długość‚ a trzeci bok jest różny. Te dwa równe boki nazywane są ramionami trójkąta‚ a trzeci bok nazywany jest podstawą trójkąta. Trójkąt równoramienny jest figurą symetryczną‚ co oznacza‚ że można go podzielić na dwie identyczne części linią symetrii‚ która przechodzi przez wierzchołek trójkąta i środek jego podstawy.

Trójkąt równoramienny może być trójkątem ostrokątnym‚ prostokątnym lub rozwartokątnym‚ w zależności od miary jego kątów wewnętrznych. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe‚ a kąt przy wierzchołku jest różny od kątów przy podstawie.

Trójkąty równoramienne są często spotykane w geometrii i mają wiele zastosowań w różnych dziedzinach‚ np. w architekturze‚ sztuce i inżynierii. Są również wykorzystywane w konstrukcji różnych obiektów‚ takich jak kratownice i mosty.

Trójkąt różnoboczny

Trójkąt różnoboczny to trójkąt‚ w którym wszystkie trzy boki mają różną długość. Jest to najbardziej ogólny rodzaj trójkąta‚ który nie posiada żadnej szczególnej symetrii. Trójkąt różnoboczny może być trójkątem ostrokątnym‚ prostokątnym lub rozwartokątnym‚ w zależności od miary jego kątów wewnętrznych.

W trójkącie różnobocznym wszystkie trzy kąty wewnętrzne są różne. Kąt naprzeciwko najdłuższego boku jest zawsze największym kątem w trójkącie‚ a kąt naprzeciwko najkrótszego boku jest zawsze najmniejszym kątem w trójkącie.

Trójkąty różnoboczne są często spotykane w geometrii i mają wiele zastosowań w różnych dziedzinach‚ np. w architekturze‚ sztuce i inżynierii. Są również wykorzystywane w konstrukcji różnych obiektów‚ takich jak kratownice i mosty.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z najważniejszych twierdzeń w geometrii i odnosi się do trójkątów prostokątnych. Głosi ono‚ że w trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych.

Jeśli oznaczymy długość przeciwprostokątnej przez (c)‚ a długości przyprostokątnych przez (a) i (b)‚ to twierdzenie Pitagorasa można zapisać w postaci równania⁚

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Twierdzenie Pitagorasa jest niezwykle użyteczne w rozwiązywaniu problemów geometrycznych‚ np. w obliczaniu długości boków trójkąta prostokątnego‚ gdy znane są długości dwóch innych boków. Jest również wykorzystywane w innych dziedzinach‚ takich jak fizyka‚ inżynieria i astronomia.

Trygonometria

Trygonometria jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem związków między kątami a bokami trójkątów. Jest to dziedzina matematyki‚ która ma szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach‚ takich jak fizyka‚ inżynieria‚ astronomia‚ nawigacja i kartografia.

W trygonometrii stosuje się funkcje trygonometryczne‚ takie jak sinus‚ cosinus i tangens‚ które opisują zależności między kątami a bokami trójkątów. Funkcje trygonometryczne są definiowane jako stosunki długości boków trójkąta prostokątnego.

Trygonometria jest niezwykle użyteczna w rozwiązywaniu problemów geometrycznych‚ np. w obliczaniu długości boków trójkąta‚ gdy znane są długości dwóch innych boków i miara jednego z kątów. Jest również wykorzystywana do obliczania odległości‚ wysokości i innych parametrów w różnych sytuacjach praktycznych.

Podsumowanie

Geometria ma szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach‚ takich jak architektura‚ inżynieria‚ fizyka‚ astronomia‚ kartografia i sztuka.

Geometria rozwijała się przez wiele stuleci‚ od starożytnej Grecji po czasy współczesne.

Współczesna geometria obejmuje wiele dziedzin‚ takich jak geometria analityczna‚ geometria różniczkowa‚ geometria algebraiczna i topologia.

Zastosowania geometrii

Geometria ma szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki‚ techniki i sztuki. Jest niezbędna w architekturze‚ gdzie pozwala na projektowanie i budowanie budynków o różnych kształtach i rozmiarach. W inżynierii geometria jest wykorzystywana do projektowania mostów‚ dróg‚ maszyn i innych konstrukcji.

W fizyce geometria jest wykorzystywana do opisu ruchu ciał‚ sił i pól. W astronomii geometria jest wykorzystywana do badania kształtu i ruchu planet‚ gwiazd i galaktyk. W kartografii geometria jest wykorzystywana do tworzenia map i planów.

Geometria jest również wykorzystywana w sztuce‚ gdzie pozwala na tworzenie dzieł o różnych kształtach i perspektywach. W grafice komputerowej geometria jest wykorzystywana do tworzenia modeli 3D i do renderowania obrazów.

Rozwój geometrii

Geometria rozwijała się przez wiele stuleci‚ od starożytnej Grecji po czasy współczesne. Pierwsze systematyczne badania geometrii zostały przeprowadzone przez starożytnych Greków‚ w szczególności przez Euklidesa‚ którego dzieło “Elementy” stanowiło podstawę geometrii przez ponad 2000 lat.

W XVII wieku René Descartes wprowadził geometrię analityczną‚ która łączy geometrię z algebrą i pozwala na przedstawianie figur geometrycznych za pomocą równań. W XIX wieku rozwinęła się geometria nieeuklidesowa‚ która kwestionuje aksjomat równoległości Euklidesa i prowadzi do nowych geometrii‚ takich jak geometria Riemanna i geometria Lobaczewskiego.

Współczesna geometria obejmuje wiele dziedzin‚ takich jak geometria analityczna‚ geometria różniczkowa‚ geometria algebraiczna i topologia. Geometria jest nadal rozwijającą się dziedziną matematyki‚ która ma szerokie zastosowanie w wielu innych dziedzinach nauki i techniki;